как нарисовать рулетку казино в иллюстраторе / Ulaanbaatar-Tianjin Trade and Investment Forum held

Как Нарисовать Рулетку Казино В Иллюстраторе

как нарисовать рулетку казино в иллюстраторе

Rewarding Hobbies For Introverts

Who made up that lie that introverts are boring and don’t like to have fun? It’s been pretty effective since lots of people seem to think that an introvert’s idea of fun is sitting alone in their room doing nothing all day. Sure, we enjoy the occasional moments of silence and solace but we aren’t recluses for Christ’s sake. We like to have fun, and that includes a wide range of rewarding and fulfilling hobbies.

If you’re looking for a new hobby, or you’re just curious about what introverts like to do in their spare time, look no further. Here are 10 rewarding hobbies for introverts.

1.  Gardening

Although humans have been hunter-gatherers for years, more recently, less and less of our population is in close contact with the food they eat. With the current social media trends and concerns about climate change and sustainability, having a green thumb is considered cool these days.

Being able to gather fresh fruits, vegetables, and herbs from your garden is not only enviable, but the experience from seed to harvest is one that is both therapeutic and enjoyable. You can also choose to build a garden of flowers for beautification purposes which, according to research, may boost mood and overall well-being.

2.   Creative Writing

Introverts spend a lot of time soul searching and are often doing mental gymnastics. What better way to express what you have found through creative writing? You can write about yourself, about others, or about the things you see around you. You could branch off into fictional writing and create characters out of thin air. It can be serious and have an important message, or silly and goofy. It’s all up to you and how you feel at the moment. Have fun with it. There’s no pressure.

3.   Photography

As the saying goes, a picture can say a thousand words, and if you aren’t willing to write them, you can say it with the click of a button. You don’t need a high-tech, fancy camera or thousands of dollars worth of equipment to begin. Your smartphone is probably up to the task, and you can use popular software to edit and enhance the photos you have taken.

You can display these photos by creating an Instagram or Pinterest feed specifically for this purpose, or go the old-fashioned route and extend this hobby into scrapbooking.

4.   Painting

Instead of taking actual pictures, why not paint them? One of the best things about painting is that you don’t have to be the best artist or know how to draw and create bone-straight lines. You can have fun with it, and just let the art flow out of you and onto the canvas.

If you ever want to take it seriously, you can probably find classes at a high school or community college. Plus, there are tons of free resources online that you can use that aren’t guaranteed to turn you into the next Picasso, but will enhance your abilities.

5.   Cooking/Baking

If you love food, then you will love this hobby. It gives you a chance to create something you will truly appreciate, and, if you mess up, you’ll have extra motivation to try again to get it right. With the number of resources there are online from Youtube videos and Tiktoks to recipes and cookbooks, getting started is as easy as gathering the ingredients. You have to eat anyway, so why not make an occasion of it?

6.   Gaming

The online gaming community is massive and there are tons of games to choose from. We’re talking millions of people, thousands of games. You may know popular ones like Fortnite and Among Us because of viral moments, or maybe Fifa, Madden, Grand Theft, and Minecraft. The list does not end there, in fact, it has hardly begun.

 What do you like the most? Is it cars? There are tons of games for that. How about simulations? There are so many themes to choose from. How about something set in outer space with missions? You can even play games under the sea. Whatever you can think about, it’s there, whether on the app store or on a console.

You can play by yourself at your own pace, or with other players from across the world, depending on the game. Many people have even made careers out of gaming. Perhaps it was the hobby you needed all along.

7.   Biking

You can discover a whole new world on a bicycle. Bicycles give you the opportunity to go places a car can’t, like up a mountain path, or down into a river valley. Here, you can get in touch with nature and get away from the hustle and bustle of everyday life. Biking is also a great form of exercise and will help to keep your body in shape. If you take it seriously enough, you can also enter into biking competitions or take part in fundraisers and bike for different causes.

8.   DIYing

Everyone’s into DIY these days, not only because it saves a pretty penny, but because it is a rewarding experience. Taking on a few projects around the house can help to occupy your time and put your creativity and skills to the test. In the end, you’ll feel pretty good about what you were able to accomplish. Just remember to do your research and watch a few videos on Youtube before you go tearing down a whole section of wall!

9.   Fishing

If you live near a body of water suitable for fishing, why not take up this hobby? A lot of people do it regularly and seem to enjoy it, don’t they? Maybe there’s something in it for you. There’s nothing wrong with getting out of your element, especially if you’re not the type. You can always throw the fish back if you’re not into the whole gutting process and prefer to get your “fresh catch” from the supermarket.

  Music lessons (Instrument)

Knowing how to play an instrument automatically gives you a few cool points. Studies  have also shown that this can help to decrease stress and anxiety, lower blood pressure, and reduce symptoms of depression. Since introverts sometimes struggle with outward communication, a musical instrument can be a powerful tool for self-expression. It can help us to connect with a crowd without having to utter a single word.
Written by Travis Hawley

Delicious Traditional Dutch Pea Soup, Vegan Style

Jump to Recipe Print Recipe

Hi Everyone,

It&#;s been a while, I was on a long Christmas holiday break and decided to just have fun with Gerardo and my two daughters.

But I am back in wintery Europe and I was longing for this hearty, chunky, pea soup, bringing back memories from when we were iceskating in the Netherlands, coming back home with freezing toes and really needing to warm up. 

I wanted to make a vegan version, to support my daughter Maura, and because we are all &#;almost vegans&#;. I needed to imitate the smoky flavour of bacon and sausage, and used &#;smoked paprika powder&#;. I was surprised how well it worked. 

There is a new product on the market which should have the same effect. It&#;s called &#; I SEA BACON&#;. It&#;s from the same company where  &#;I SEA PASTA&#; is coming from, which  I used in a really nice spanish flavoured dish, called I SEA SPAIN. I just ordered the &#;I Sea Bacon&#; and hope to get it in a couple of days, can&#;t wait to make my first recipe with this new ingredient.

The recipe of this Dutch Pea Soup is loaded with vegetables, no surprise for you! I love the taste of celery root.  As for sausages I bought a &#;vegan frankfurter&#; at my local organic store. Feel free to buy any kind of vegan sausages that you like, preferably with a smoky flavour.

It&#;s a simple recipe, easy to make, just plan ahead and soak the dried peas or the split peas, overnight. 

Tip: make a big pot.. 2nd day it will taste even better!

Traditional Dutch Pea Soup, Vegan Style

Protein loaded veggie soup, with less than 10 ingredients, easy to make.

Servings: 6


Author: Yvette

  • a gr dried spilt peas
  • 1 big yellow onion cubed
  • 1 leek cut lengthwise, then thinly sliced to make 1/2 rings
  • 2 medium carrots cubed
  • 1 cup of cubed celery root
  • 2 cellery stalks thinly sliced
  • 1/2 cup of cubed potatoes
  • About 1 liter of vegetable stock carton or stock cube with water
  • tsp of smoked paprika powder
  • Salt and fresh pepper
  • Garnish: chopped celery leaves
  • Vegan tofu based sausage smoky flavour

Night Before

  • Soak (split) peas overnight in water.

Next day

  • Cook peas until soft. Drain and transfer to food processor to smash the peas, or use a potato masher, (do not make a puree) and put aside

  • In a big pot, heat some olive oil, ghee or odorless coconut oil, add the onions and sauté for minutes, add chopped carrots and continue to sauté. Add 1 tbs of the smoked paprika powder, while stirring continuously.

  • Add the other veggies; celery stalks, celery root, potatoes, and leeks. Add at least one more tsp of smoked paprika powder.

  • Once the smoked paprika is well incorporated into the veggies, add stock until all veggies are covered. Add some salt and pepper and simmer for 10 minutes.

  • Add the smashed peas, and more stock, depending on thickness and according to your liking.

  • Stir and simmer for about another 20 minutes. Taste, add more salt and pepper if needed, or more smoked paprika if you like it more smoky.

  • Meanwhile, cut sausages in nice bite size pieces and sauté in a frying pan for minutes.

  • Have bowls ready, scoop soup in bowls, add sausages and sprinkle with some chopped celery leaves

  • Serve with a piece of authentic bread and yummy olive oil!

Tastes even better the next days.
Easy to freeze.







Block Issue 11


Ready for more?

Earn up to 43% annual rewards* on Superchargers, denominated in your favourite crypto and fiat.

Discover more at goalma.org

2 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11

AIBC Staking Platform of the Year


* Supercharger rewards are issued on a best efforts basis and may change or cease at any time. Rewards are added to your balance in the same denomination as the Supercharger purchased. Superchargers are virtual simulations and can only be used within the Freeway platform. See terms and conditions at goalma.org US citizens and residents should visit goalma.org for US specific terms and conditions. Total Balance: 10, USD Total Rewards: 3, USD You have unlocked maximum Annual Rewards. Current Supercharger Notice Period: 30 Days Manage Notice Period BUY USD Supercharger Denominated in USD Annual Rewards (AR) Up to 43% AR Exchange Rate USD BUY BTC Supercharger Denominated in Bitcoin Annual Rewards (AR) Up to 43% AR Exchange Rate USD



Katy Micallef


William Galea


Robert Cuschieri


Maria Debrincat

Matthew Calleja

Sharon Singleton


Renee Micallef Decesare

Stella Friasse

Max Jones

Ayoub Hamdi

Ramy Ben Fraj

Zakaria El Maaroufi

Elisa Martinotti


Ihor Ziomkovsky

As the year draws to a close, and Malta Week edges closer, it’s time to roll out the printing ink for one last issue of Block Magazine.

What better way to wrap things up for than with a cover story featuring none other than the legendary Gary Vee. In this exclusive interview he talks about scaling for kindness through VeeFriends - a collection of characters that embody the traits humans need to lead to happiness and success.

We’ve also given space to exploring some of ’s most interesting and creative projects. On page 15 we speak to Joseph Borg about Malta’s first space bioscience programme - Project Maleth, while on page 32 Block caught up with Alistair Pernigo - a young innovator working on developing the application of synesthetic tech in an augmented reality ecosystem. Bringing full olfactory capabilities to our digital and wellness experience, he’s unlocking the senses - literally.

From Toronto and Dubai to Belgrade, it’s been a whirlwind tour for Block this year. Looking forward, is no less eventful. We’ll be debuting the magazine in Kenya before heading to Dubai, Brazil, the Philippines, and Cyprus. We then plan to wrap things up in the editorial department with our end of year issue in Malta.

Now to the customary round of thanks. To Group Founder, Eman Pulis, the force pushing forward all our best laid plans, to William and Robert for bringing the stories between these pages to life, and to the content teamthe backbone behind this issue.


Поскольку год подходит к концу, а Мальтийская неделя приближается, пришло время использовать печатную краску для последнего номера журнала Block.

Что может быть лучше, чем подвести итоги года, чем написать историю на обложке с участием легендарного Gary Vee. В этом эксклюзивном интервью он рассказывает о стремлении к доброте с помощью VeeFriends — коллекции из персонажей, воплощающих качества, необходимые людям для достижения счастья и успеха.

Мы также предоставили место для изучения некоторых из самых интересных и креативных проектов года. На странице 15 мы беседуем с Joseph Borg о первой на Мальте программе космической биологии — Project Maleth, а на странице 32 — Block взял интервью у Alistair Pernigo — молодого новатора, работающего над применением синестетических технологий в экосистеме дополненной реальности. Привнося полные обонятельные возможности в наш цифровой и оздоровительный опыт, он буквально раскрывает чувства.

В этом году для Block тур от Торонто и Дубая до Белграда был бурным. Забегая вперед, год будет не менее насыщен событиями. Мы представим журнал в Кении, а затем отправимся в Дубай, Бразилию, Филиппины и Кипр. Затем мы планируем подвести итоги в редакционном отделе выпуском выпуска на конец года на Мальте. Теперь перейдем к благодарностям. Основателю группы Eman Pulis, который продвигает все наши лучшие планы, William и Robert за то, что они воплотили в жизнь истории на этих страницах, и команде по контенту — фундаменту, на котором это все стоит.



We explore Project Maleth - Malta’s first space bioscience program.

Ben Goertzel обсуждает, как мы можем построить долговечную Метавселенную.


An interview with entrepreneur and investor Gary Vaynerchuk.

Интервью с предпринимателем и инвестором Gary Vaynerchuk.


David Orban on the trend of distributed and decentralized AI.

David Orban о тенденциях распределенного и децентрализованного ИИ.


Alistair Pernigo on digitally unlocking the power of smell.

Alistair Pernigo о цифровом раскрытии силы обоняния.



A look at how business, tech, and law collide Анализ того, как сталкиваются бизнес, технологии и право







Understanding how blockchain is paving a new technological landscape.

Как блокчейн создает новый технологический ландшафт.


Ivan on Tech shares his thoughts.

Ivan on Tech делиться своим мнением. 51


It’s time to get on board with a decentralised internet, says Aideen Shortt.

«Пришло время заняться децентрализованным интернетом», - говорит Aideen Shortt.


James Crypto Guru on the key factors pushing Game-Fi towards mass adoption.

James Crypto Guru рассказал о ключевых факторах, подталкивающих Game-Fi к массовому внедрению.



Can we reset brain activity with psychedelics?

Можем ли мы сбросить активность мозга с помощью психоделиков?


Combining simulation technology with digital patient twins.

Сочетание технологии моделирования с цифровыми близнецами пациентов.


Get to know the key figures in the emerging tech scene.

Познакомьтесь с ключевыми фигурами в сфере партнерского маркетинга и гейминга.







The past few years have seen the company significantly broaden the depth of its scope, opening new offices in Belgrade and Cyprus and expanding its event portfolio globally. Our plans for are equally ambitious, with conferences launching across 5 continents.

We’ve also been busy in other areas. Since Covid we’ve set up a VC fund called Ikigai Ventures, where we invest in great founders and incubate entire ideas from the ground up. Results here have been incredibly encouraging. We have a global mandate, with an investment portfolio that includes frontier tech such as blockchain and AI.

The SiGMA Group has also ramped up its efforts in affiliation - we believe turning our website into a portal for news, reviews, education and events is the way to go. These are unchartered waters for us, and there’s no blueprint we could follow. To my knowledge, no other events company has attempted to pivot the way we are. But I’m convinced we have the right talent on board; in Belgrade, Cyprus and Malta, to lead the way with this ambition.

We kickstart with a debut event in Kenya before returning to Dubai in March. With the UAE prioritising cutting-edge technology and entrepreneurship through both opportunities for funding and attractive taxation schemes, Dubai holds plenty of promise for those with their eyes on tomorrow.

Brazil is also rapidly emerging as a leader in tech-focussed businesses. Investment in areas such as AI and Blockchain has allowed the region to leverage long-awaited opportunities to leapfrog toward greater levels of innovation, productivity, and socio-economic progress. We plan to launch in Sao Paulo next May.

We’re also reigniting plans for Manila in July with the country embracing an ambitious plan to drive digital transformation as they seek to become active participants in the global digital economy. We then head home to Cyprus and Malta for a September and November event respectively.

За последние несколько лет компания значительно расширила

сферу своей деятельности, открыв новые офисы в Белграде и на Кипре и расширив свой портфель мероприятий по всему миру. Наши планы на год столь же амбициозны: конференции стартуют на 5 континентах.

Мы также не отставали и в других областях. После Covid мы создали венчурный фонд под названием Ikigai Ventures, где мы инвестируем в умелых учредителей и развиваем целые идеи с нуля. Результаты в этой области были невероятно обнадеживающими. У нас есть глобальный мандат с инвестиционным портфелем, который включает передовые технологии, такие как блокчейн и искусственный интеллект.

SiGMA Group также активизировала свои усилия по

присоединению — мы считаем, что превращение нашего веб-сайта в портал новостей, обзоров, образования и событий — это правильный путь. Это неизведанные воды для нас, и нет плана, по которому мы могли бы следовать. Насколько

мне известно, ни одна другая компания, занимающаяся организацией мероприятий, не пыталась измениться так, как мы. Но я убежден, что у нас есть нужные таланты; в Белграде, на Кипре и Мальте, чтобы возглавить эту амбицию.

Мы начнем год с дебютного мероприятия в Кении, а затем вернемся в Дубай в марте. Поскольку ОАЭ уделяют приоритетное внимание передовым технологиям и предпринимательству благодаря как возможностям финансирования, так и привлекательным схемам налогообложения, Дубай открывает большие перспективы для тех, кто смотрит в будущее.

Бразилия также быстро становится лидером в сфере технологий. Инвестиции в такие области, как искусственный интеллект и блокчейн, позволили региону использовать долгожданные возможности для рывка вперед к более высоким уровням инноваций, производительности и социально-экономического прогресса. Мы планируем провести мероприятие в Сан-Паулу в мае следующего года.

Мы также возобновляем планы для Манилы в июле, поскольку страна реализует амбициозный план по цифровой трансформации, стремясь стать активными участниками глобальной цифровой экономики. Затем мы отправимся

домой на Кипр и Мальту на сентябрьское и ноябрьское мероприятие соответственно.

10 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11


ISSUE 11 - ВЫПУСК 11 - 11


Сможете ли вы стать следующим уникальным стартапом?

We’re supporting great ideas by throwing our weight behind innovative young startups and entrepreneurs. The Startup Village will host of the most promising businesses, offering them valuable exposure on the expo floor. The Startup Pitch, a staple of our global conferences, will offer 8 leading companies the opportunity to score potential equity investment, mentorship, and access to great networking.

Мы поддерживаем отличные идеи, оказывая поддержку молодым стартапам и предпринимателям. В Startup Village примут участие самых многообещающих компаний, получая возможность для экспозиции на выставочной площадке.

Startup pitch, один из основных элементов наших конференций, предложит 8 ведущим компаниям возможность оценить потенциальные инвестиции в акционерный капитал, наставничество и доступ к отличному нетворкингу.


Brand visibility: Free 1x1m booth including the cost of printing and furniture.

Premium networking Invitation to premium networking events during AIBC

Live Presentation: Startup Pitch presentation for ten finalists and meeting with investors on stage.

PR and Media: PR opportunities through AIBC’s wide array of media. Consultancy and leads: Free consultancy and potential leads from leading industry veterans.

Building relationships: Personal connections to potential customers and investors.


на премиальные нетворкинг-мероприятия во время AIBC. Прямая презентация: презентация Startup Pitch для десяти финалистов и встреча с инвесторами на сцене. PR и СМИ: возможности для связей с общественностью благодаря широкому спектру средств массовой информации AIBC. Консультации и лиды: бесплатные консультации и потенциальные

лиды от ведущих ветеранов отрасли. Построение отношений: личные связи с потенциальными клиентами и инвесторами.

STARTUP VILLAGE ПОЛУЧАТ: Видимость бренда: бесплатный стенд 1x1 м, включая стоимость печати и мебели. Премиум-нетворкинг: Приглашение













14 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11

Inspired by the story of NASA’s identical twin experiment, where NASA’s Scott Kelly spent a year on board the International Space Station to test the effects of space travel on his body, whilst his twin and fellow astronaut Mark Kelly remained on earth, Joseph Borg worked to help launch Project MalethMalta’s first space bioscience program.

Вдохновленный историей NASA об эксперименте с однояйцевыми близнецами, когда Scott Kelly

из NASA провел год на борту Международной

космической станции, чтобы проверить влияние космического путешествия на свое тело, в то время как его близнец и коллега-астронавт Mark Kelly остался на Земле, Joseph Borg работал над запуском Project Maleth - первой космической бионаучной программы Мальты.

Взгляд в космос

ISSUE 11 - ВЫПУСК 11 - 15


A Professor, molecular geneticist, and biomedical laboratory scientist at the University of Malta, he speaks enthusiastically about his love of innovation and exploration. Space science has helped bridge the gap with the less adventurous life sciences - giving his pioneering spirit a creative outlet.

He is keen to point out the analogy with other (albeit, more earthbound) explorers, such as Christopher Colombus. Like them he also seeks to follow the path less trodden.

“Going somewhere you do not know yet and discovering something new, this is something which will leave ripples,” he says.

Carried out by Spaceomix, managed by Arkafort Ltd., supported by Evolve Ltd, and the Ministry for Research, Innovation and Coordination, and funded by the Ministry for Foreign and European Affairs of Malta, the Maleth Project sent skin tissue samples from diabetic foot ulcer patients to be studied on the International Space Station (ISS) in

More missions followed, with Maleth II following up on these findings on its second space research mission. The mission, enabled by the ICE Cubes service, a commercial service provider in partnership with ESA, was designed to replicate and validate the observations of the Maleth I mission, as well as conduct additional research on other cell types.

Профессор, молекулярный генетик и научный сотрудник биомедицинской лаборатории Мальтийского университета с энтузиазмом говорит о своей любви к инновациям и исследованиям. Космическая наука помогла преодолеть разрыв с менее авантюрными науками о жизни, предоставив его новаторскому духу творческий выход. Он стремится указать на аналогию с другими (хотя и более земными) исследователями, такими как Христофор Колумб. Как и они, он также стремится следовать менее протоптанным путем.

«Отправляясь куда-то, чего вы еще не знаете, и открывая для себя что-то новое, вы оставите после себя след», — говорит он. Осуществляемый Spaceomix под управлением Arkafort Ltd. при поддержке Evolve Ltd и Министерства исследований, инноваций и координации и финансируемый Министерством иностранных и европейских дел Мальты, проект Maleth отправил образцы кожной ткани диабетической язвы стоп пациентов, которые будут обследованы на Международной космической станции (МКС) в году. Затем последовали новые миссии, и Maleth II продолжил эти выводы во время своей второй миссии по исследованию космоса. Миссия, организованная службой ICE Cubes, коммерческим поставщиком

услуг в партнерстве с ESA, была разработана для воспроизведения и проверки наблюдений миссии Maleth I, а также для проведения дополнительных исследований других типов клеток.

16 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11


“The idea of studying a selected number of patients’ human skin microbiomes in the context of space made sense, because for these patients one major problem is that when bacteria infects their ulcers it tends to become resistant to treatment.”

He goes on to say that “space radiation also renders bacteria resistant to treatment. So there are resistance mechanisms and pathways that bacteria build up. We have an interest in studying what these resistance mechanisms are both in space and on earth, and comparing them together.”

He hopes this will lead to the identification of key genes or biomarkers to be able to target these microorganisms faster and better, curing patients more efficiently.

Each patient sample is divided in a multi omic approach - starting with a very first sample that is both analysed and frozen on the day of arrival. This gives a first wave of biomedical data and genome profiling. Of the other two sample types; one is maintained in our labs on Earth, and the other is placed inside the cube and sent to space.

“These two samples, on earth and space, are the ones that we profile genetically and explore biomedically. We can compare the genomes and the profiling of all three different scenarios of one patient - in the case of Maleth I, for six patients.”

Behind all this is the design and construction of the ICE Cube, a futuristic sounding hybrid of electronics and biology. This gets sent to the States, where it is put onboard a SpaceX rocket which launches from Cape Canaveral in Florida. Onboard, the ISS astronauts plug into Arkafort’s innovative mission control system, which is connected to the International Space Station. From this they can then monitor the data produced.

The results for both missions were positive, having found some form of replication between the first two missions - so much so that they are now planning to wrap up the Maleth program early next February with Maleth III.

«Идея изучения определенного количества

микробиомов кожи

пациентов в контексте космоса имела смысл, потому что для этих пациентов одной из основных проблем является то, что когда бактерии заражают их язвы, они становятся устойчивыми к лечению».

Далее он говорит, что «космическое излучение также делает бактерии устойчивыми к лечению. Таким образом, существуют механизмы резистентности и пути, которые создают бактерии. Нам интересно изучить, что представляют собой эти механизмы сопротивления как в космосе, так и на Земле, и сравнить их».

Он надеется, что это приведет к идентификации ключевых

генов или биомаркеров, чтобы иметь возможность быстрее и лучше нацеливаться на эти микроорганизмы, более эффективно

излечивая пациентов.

Образец каждого пациента делится мультиомическим подходом, начиная с самого первого образца, который анализируется и замораживается в день прибытия. Это дает первую волну биомедицинских данных и профилирования генома. Из двух других типов образцов; один хранится в наших лабораториях на Земле, а другой помещается внутрь куба и отправляется в космос. «Эти два образца, на Земле и в космосе, являются теми, которые мы профилируем генетически и исследуем биомедицински. Мы можем сравнить геномы и профили всех трех разных сценариев одного пациента — в случае с Maleth I для шести пациентов».

За всем этим стоит дизайн и конструкция ICE Cube, футуристический гибрид электроники и биологии. Его отправляют в Штаты, где помещают на борт ракеты SpaceX, которая стартует с мыса Канаверал во Флориде. На борту астронавты МКС подключаются

к инновационной системе управления полетами Arkafort, которая подключена к Международной космической станции. Затем они могут отслеживать полученные данные. Результаты для обеих миссий были положительными, поскольку между первыми двумя миссиями была обнаружена некоторая форма репликации - настолько, что теперь они планируют завершить программу Maleth в начале следующего февраля с помощью Maleth III.


Отправляясь куда-то, чего вы еще не знаете, и открывая для себя что-то новое, вы оставляете после себя след.

ISSUE 11 - ВЫПУСК 11 - 17

“In our case, studying the microbiomes of diabetic patients is a first globally, so there was no benchmark. Having Maleth I as a benchmark was critical. Maleth II was a natural follow up study to vindicate our initial data.”

Maleth II has seen some upgrades internally. The Raspberry Pi computer was a different model. Connectivity was slightly different and alternative encryption methods were employed. Maleth II boasted an exterior design made of machined aluminum as opposed to the 3D plastic exterior of Maleth I. The biology was essentially the same, bar one other sample for which they used the yeast cell model. Yeast is a higher order organism from bacteria and shares common cellular properties with human cells.

“We are not simply looking at just microorganisms or primitive bacteria, we are also walking down the road of higher order biology. We are replicating and following up, and are building our way forward. A group, an idea, a company, space omics is not just about space science, but about bringing different minds together from all walks of life, with the aim of building something that transcends borders

Spaceomix - Malta’s first space company, was launched as part of the Arkafort group of companies.

Arkafort holds a track record of being on the forefront of technological innovation and Spaceomix presented itself as an opportunity for Arkafort to invest in space research and genomics. These areas rely heavily on information technology and contribute to Arkafort’s mission of advancement through technology. Spaceomix aims to provide a range of services related to space science and research, making space accessible to all.

“We are a space tech group, a space tech company, we want to push borders, go to the next frontier and lead the way.”

The scientific findings have now been approved for scientific publication.

«В нашем случае исследование микробиома больных диабетом

проводится впервые в мире, поэтому эталона не было. Иметь

Maleth I в качестве эталона было критически важно. Maleth II был

естественным последующим исследованием, чтобы подтвердить наши первоначальные данные».

Maleth II претерпел некоторые внутренние улучшения. Компьютер Raspberry Pi был другой модели. Возможности подключения были немного другими, и использовались альтернативные методы шифрования. Maleth II мог похвастаться корпусом, выполненным из обработанного алюминия, в отличие от трехмерного пластикового корпуса Maleth I. Биология была, по существу, такой же, за исключением одного другого образца, для которого они использовали модель дрожжевой клетки. Дрожжи представляют собой организм более высокого порядка, чем бактерии, и имеют общие клеточные свойства с клетками человека.

«Мы не просто смотрим на микроорганизмы или примитивные бактерии, мы также идем по пути биологии более высокого порядка. Мы повторяем и продолжаем, и строим наш путь вперед. Группа, идея, компания, космическая омика — это не только космическая наука, но и объединение разных умов из всех слоев общества с целью создания чего-то, что выходит за рамки границ. Spaceomix — первая космическая компания Мальты, запущена в составе группы компаний Arkafort. Компания Arkafort известна тем, что находится в авангарде технологических инноваций, а Spaceomix предоставила Arkafort возможность инвестировать в космические исследования и геномику. Эти области в значительной степени зависят от информационных технологий и вносят свой вклад в миссию Arkafort по развитию с помощью технологий. Spaceomix стремится предоставлять ряд услуг, связанных с космической наукой и исследованиями, делая космос доступным для всех. «Мы – группа, занимающаяся космическими технологиями, компания космических технологий, мы хотим расширить границы, выйти на новый рубеж и проложить путь». Научные выводы одобрены для научной публикации.



Иметь Maleth I в качестве эталона было критически важно. Maleth II был естественным последующим исследованием, чтобы подтвердить наши первоначальные данные.

18 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11



Serial entrepreneur and investor Gary Vaynerchuk will headline AIBC Eurasia as a keynote speaker for the AIBC summit to be held in Dubai next March. Katy Micallef sat down with him for an exclusive interview in the runup to the event.

Серийный предприниматель и инвестор Gary Vaynerchuk возглавит AIBC Eurasia в качестве

основного докладчика на саммите AIBC, который состоится в Дубае в марте следующего года. Katy Micallef взяла у него эксклюзивное интервью в преддверии мероприятия года.

What does the emergence of new tech like Blockchain bring to the table for creative entrepreneurs like yourself?

The blockchain empowers creators in many ways. First and foremost, the blockchain is a ledger at scale that can confirm and affirm ownership of digital assets, which is non-manipulatable or non-alterable.

The technology’s capabilities are a big deal for entrepreneurs as it allows them to provide additional utility and value to the assets they issue - this is unprecedented in the history of technology. I believe that more people will understand the magnitude of this technology over the next decade.

What is the single most important thing brands looking to build and scale their communities should know? How can they incorporate social media tools into their strategy?

One of the most significant problems I’ve seen in the last 15 years of community building is watching 97% of people/brands try to build communities founded on a framework of selfishness. In other words, they call it their community, but they are customers. And, when you’re thinking of your audience as “customers,” it is very different from a “community.” They are probably not providing value to their audience through their attempt to build a community. Instead, they are so focused on extracting value that they will never be able to create that meaningful community.

Now, think about how to incorporate this mindset in social media. Social media is the most effective way to build an actual community in the modern marketing world, given that there is no cost associated with the distribution of the creative - especially when you’re producing interesting and meaningful content.

Could you imagine how in the s, you could write a good article, and all the newspapers in the world would pick it up? That’s basically what social media is today.

20 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11


Что появление новых технологий, таких как Блокчейн, дает таким творческим предпринимателям, как вы?

Блокчейн расширяет возможности многих вещей, но, прежде всего, это реестр в масштабе, которая может подтверждать право собственности на цифровые активы, которые нельзя манипулировать или изменять. Возможности технологии имеют большое значение для предпринимателей, поскольку они позволяют им обеспечивать

дополнительную полезность и ценность выпускаемых ими активов — это беспрецедентно в истории технологий. Я верю, что в следующем десятилетии все больше людей поймут масштабы этой технологии.

Что самое важное должны знать бренды, стремящиеся создать и расширить свои сообщества? Как они могут включить инструменты социальных сетей в свою стратегию?

Одна из самых значительных проблем, с которыми я сталкивался за последние 15 лет создания сообществ, заключается в том, что 97% людей/брендов пытаются создавать сообщества, основанные на эгоизме. Другими словами, они называют это своим сообществом, но считают клиентами. И когда вы думаете о своей аудитории как о «клиентах», она сильно отличается от «сообщества». Они, вероятно, не приносят пользы своей аудитории, пытаясь построить сообщество. Вместо этого они настолько сосредоточены на извлечении ценности, что никогда не смогут создать полноценное сообщество.

Теперь подумайте о том, как внедрить это мышление в социальные сети. Социальные сети — это самый эффективный способ создать реальное сообщество в современном мире маркетинга, учитывая, что распространение креатива не требует затрат, особенно когда вы создаете интересный и содержательный контент. Могли бы вы представить, как в х вы могли написать хорошую статью, и ее подхватили бы все газеты мира? Это в основном то, чем сегодня являются социальные сети.

ISSUE 11 - ВЫПУСК 11 - 21

VeeFriends leverages the benefits of smart contracts - can you tell us more about deriving value from NFT tech that looks beyond the more obvious art and collectibles side of things?

The utility capabilities of smart contracts are so important! For example, a smart contract can represent the deed of a home; it can represent access to a plane trip, cruise ship, or sporting event. In addition, it can represent anything that needs to be a contract/ arrangement - think of any binding contract. Here’s a fun one. It can even represent a marriage!

Simply put, it’s a contract, and any contract that exists today can be placed on the blockchain and developed into a smart contract. This is why the technology is so important - think about how many contracts have been debated, how many contracts have been lost in fires, and consequently caused issues amongst families and business partners - developing a smart contract can eliminate all these potential risks.

Today, this profound technology seems to be focused on collectability and art, but it will inevitably expand over the next 20 years.

The VeeFriends characters represent the human traits you most admire. You’ve said that you believe that these characters and what they stand for will be your legacy - how are you using these traits to scale your ideas?

That’s one of the most meta-questions of all time - One of the characters is Tenacious Termite: today, I’m using tenacity to drive this brand to success. Another character is Curious CraneI’m staying curious daily to figure out what to do and how to do it.

I mean, there isn’t a single trait from the VeeFriends characters that a CEO and leader doesn’t use. Each character has a unique story, which embodies traits humans need to lead to happiness and success.

22 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11

VeeFriends использует

преимущества смарт-контрактов

— можете ли вы рассказать нам больше о том, как извлечь выгоду из технологии NFT, которая выходит за рамки более

очевидных предметов искусства и предметов коллекционирования?

Полезные возможности смарт-контрактов

крайне важны! Например, смарт-контракт

может представлять собой документ о доме; это может означать доступ к поездке на самолете, круизному лайнеру или спортивному событию. Кроме того, он может представлять все, что должно быть контрактом/соглашением — подумайте о

любом обязывающем контракте. Вот забавно. Это может даже относиться к браку!

Проще говоря, это контракт; и любой контракт, который существует сегодня, может быть помещен в блокчейн и преобразован в смарт-контракт. Вот почему технология

так важна — подумайте о том, сколько контрактов было обсуждено, сколько контрактов было потеряно в результате пожаров и, следовательно, вызвало проблемы между семьями и деловыми партнерами — разработка смарт-контракта может устранить все эти потенциальные риски.

Сегодня эта глубокая технология, кажется, сосредоточена на коллекционировании и искусстве, но она неизбежно будет расширяться в течение следующих 20 лет.

персонажа VeeFriends

представляют человеческие качества, которыми вы больше всего восхищаетесь. Вы сказали, что верите, что эти персонажи и то, что они представляют, станут вашим наследием — как вы используете эти черты для масштабирования своих идей?

Это один из самых мета-вопросов всех времен. Например, Стойкий Термит. Я использую Стойкость, чтобы привести этот бренд к успеху, Еще есть Любознательный журавль — мне ежедневно любопытно, чтобы попытаться понять, что и как делать. Среди персонажей VeeFriends нет ни одной черты, которую бы не использовал генеральный директор и лидер. У каждого персонажа есть уникальная история, которая воплощает в себе качества, необходимые людям для достижения счастья и успеха.


ISSUE 11 - ВЫПУСК 11 - 23

VeeFriends launched its first collectibles edition with Macys and Toys “R” US in October. How can physical NFTs bridge our physical and digital lives and change how we interact with real-world items?

VeeFriends’ ambition is to grow the IP around each VeeFriends character and to scale the traits through storytelling. This collection and partnership is the first step in bringing the VeeFriends characters to life, from digital NFT collectibles to physical collectibles. In addition, these collectibles come with flow codes that lead to 3D-animated heartfelt short films. These animations build affinity around these characters. They will be an essential part of how we are thinking about building the VeeFriends universe, which will lead to metaverses in the future, video games, more NFTs, and its core to what we are developing.

Web2 platforms like social media have shown a need for some form of moderation - will the more open web 3 marketplaces need the same?

Moderation debates are always based on human behaviour. As long as there are humans, there’s always going to be an incredibly challenging understanding of moderation regarding many subjects: governments, institutions, schools, parenting, and so on.

What’s the balance of freedom? I think the world has long struggled to balance the extremes of deep democracy to a hard-line dictatorship and everything in between.

And so all you’re seeing with Web 1, Web 2, and Web 3 is the continuation of humans being humans, and then humans struggling with humans being humans or pondering better ways for humans to be humans.

VeeFriends запустила свое первое

коллекционное издание с Macys и Toys «R» в США в октябре. Как физические NFT могут соединить нашу физическую и цифровую

жизнь и изменить то, как мы взаимодействуем с предметами реального мира?

Цель VeeFriends состоит в том, чтобы расширить IP вокруг каждого персонажа VeeFriends и масштабировать черты через повествование. Эта коллекция и партнерство — первый шаг к воплощению в жизнь персонажей VeeFriends, от цифровых предметов коллекционирования NFT до физических предметов коллекционирования. Кроме того, эти предметы коллекционирования поставляются с кодами потока, которые ведут к милым короткометражным фильмам с 3D-анимацией. Эти анимации создают близость к этим персонажам. Они станут неотъемлемой частью того, как мы думаем о создании вселенной VeeFriends, что приведет к метавселенным в будущем, видеоиграм, большему количеству NFT и его основе к тому, что мы разрабатываем.

Платформы Web2, такие как социальные сети, продемонстрировали потребность в той или иной форме модерации — нужно ли то же самое более открытым торговым площадкам Web 3?

Дебаты модерации всегда основаны на человеческом поведении. Пока есть люди, понимание умеренности всегда будет невероятно сложным, когда речь идет о правительствах, учреждениях, школах, воспитании детей и так далее. Каков баланс свободы? Я думаю, что мир уже давно борется с балансом между крайностями глубокой демократии вплоть до жесткой диктатуры и всем, что между ними. Итак, все, что вы видите в Web 1, 2, 3, — это продолжение того, как люди остаются людьми, а затем люди борются с людьми, которые остаются людьми, или обдумывают лучшие способы, чтобы люди были людьми.



Каков баланс свободы? Я думаю, что мир уже давно борется с балансом между крайностями глубокой демократии вплоть до жесткой диктатуры и всем, что между ними.

24 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11


When it comes to consumer behaviour - what are the things you look at when trying to understand the psychology behind the culture?

I look for pattern recognition. It’s hard to explain what I look for in consumer behaviour, but I read, synthesise and listen. I consume and ponder - then I consume and ponder, and consume and ponder.

I have a knack for figuring out where the wind is blowing. But one thing I don’t do is guess. So I am very quick at observing actual behaviour versus trying to predict. I think too many people take a chance and try to predict what people are going to do versus acting very quickly on what people are doing. So I guess it comes down to the speed in research and taking action on top of the observation that allows me to do what I do.

You’ve been in the business of building a community for a long time - why is supporting the personal growth of community members so important to you?

Supporting personal growth is essential to me because I was raised very well. My mother and father instilled good values in me, and I care about people. I was also born to be very empathetic and compassionate and I enjoy it immensely. It’s a selfish act - I enjoy seeing others flourish and being happier.

I take a lot of pride. I also sense that I have a communication style that resonates, and I’m proud of that. And I will continue to push that and find clever ways to communicate and bring value to the community.

Когда дело доходит до потребительского поведения, на что вы обращаете внимание, пытаясь понять психологию, стоящую за культурой?

Я ищу распознавание образов. Трудно объяснить, что я ищу в потребительском поведении, но я читаю, обобщаю и слушаю. Я потребляю и размышляю — затем я потребляю и размышляю, потребляю и размышляю.

Я умею определять, откуда дует ветер. Но чего я не делаю, так это не угадываю. Я очень умело наблюдаю за реальным поведением, а не пытаюсь его предсказать. Я думаю, что слишком многие люди рискуют и пытаются предсказать, что люди собираются делать вместо того, чтобы действовать

очень быстро в зависимости от того, что люди делают. Так что, я думаю, все дело в скорости исследований и действиях, помимо наблюдений, которые позволяют мне делать то, что я делаю.

Вы давно занимаетесь созданием сообщества. Почему для вас так важно поддерживать личностный рост членов сообщества?

Для меня важно поддерживать личностный рост, потому что меня очень хорошо воспитали. Мои мать и отец привили мне хорошие ценности, и я забочусь о людях. Я также родился очень чутким и сострадательным, и я нахожу в этом огромное удовольствие. Это эгоистичный поступок — я получаю огромное удовольствие, видя, как другие процветают и становятся счастливее.

Я также чувствую, что мой стиль общения находит отклик, и я горжусь этим. И я буду продолжать настаивать на этом и находить умные способы общения и приносить пользу сообществу.

Я думаю, что слишком многие люди рискуют и пытаются предсказать, что люди собираются делать, вместо того, чтобы действовать очень быстро в зависимости от того, что люди делают на самом деле.


26 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11




Words by David Orban, Managing Advisor, Beyond Enterprizes

Слова Дэвида Орбана, управляющего консультанта Beyond Enterprises

Models based on hundreds of billions of parameters will be optimized to run on our devices even without internet connectivity, with astonishing features in a robust, decentralized way. Модели, основанные на сотнях миллиардов параметров, будут оптимизированы для работы на наших устройствах даже без подключения к Интернету, с потрясающими функциями в надежной децентрализованной форме.

The latest announcements of artificial intelligence systems based on neural networks and containing hundreds of billions of parameters, caught the eyes of specialists too. For a while they have been expecting the power of machine learning based on networks to increase proportionally less, according to the dimensions of the models on which they are trained. However, this hasn’t happened yet. To the contrary, coupled with improvements in the algorithms, the performance of the latest systems have exceeded all expectations.

Some examples are worth mentioning: MidJourney, also used to generate the image illustrating this article, Dall-E 2 from OpenAI, and Palm from Google AI. These demonstrate the power of transformers, a particular type of neural network that is trained to predict the next element in a sequential set of data, and maintain a cohesive context.

Dall-E 2 is designed to create original images from complex arbitrary descriptions in natural language. While access to the system itself is being progressively expanded, there are many examples posted of images generated across several domains, styles, and applications. The developers created a dedicated Instagram account that posts images generated based on prompts provided by the users.

На глаза специалистам попались и последние анонсы

систем искусственного интеллекта на основе нейронных

сетей, содержащих сотни миллиардов параметров. Какое-то

время они ожидали, что мощность машинного обучения

на основе сетей будет увеличиваться пропорционально

в меньшей степени, в зависимости от размеров моделей, на которых они обучаются. Однако этого еще не произошло. Наоборот, вкупе с улучшениями алгоритмов, производительность новейших систем превзошла все ожидания.

Стоит упомянуть несколько примеров: MidJourney, также использованный для создания изображений, иллюстрирующих эту статью, Dall-E 2 от OpenAI и Palm от Google AI. Они демонстрируют мощь преобразователей, особого типа нейронной сети, которая обучена предсказывать следующий элемент в последовательном наборе данных и поддерживать связный контекст.

Dall-E 2 предназначен для создания оригинальных

изображений из сложных произвольных описаний

на естественном языке. Хотя доступ к самой системе постепенно расширяется, публикуется множество примеров

изображений, созданных в нескольких областях, стилях и приложениях. Разработчики создали специальную

учетную запись Instagram, которая публикует изображения, созданные на основе запросов, предоставленных пользователями.

28 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11


The generated images can be explored in a wide variety of subjects, options, and styles on the website of the project.

It can be seen from these examples that the model is able to work with the context of the prompt, applying common sense elements as a constraint on its output. This information may include the roles of objects in the world, the force of gravity, and so on. The AI also commits interesting mistakes, where the Teddy bears in the example before appear to be in a museum of Egyptian artifacts, rather than in ancient Egypt proper.


Сгенерированные изображения можно

изучить в самых разных тематиках, вариантах и стилях на сайте проекта.

Из этих примеров видно, что модель способна работать с контекстом подсказки, применяя элементы здравого смысла в качестве ограничения на свой вывод. Эта информация может включать в себя роли объектов в мире, силу гравитации и так далее. ИИ также совершает интересные ошибки: например, мишки в предыдущем примере находятся в музее египетских артефактов, а не в самом Древнем Египте.

“A bowl of soup that is a portal to another dimension drawn on a cave wall.

GoogleAI’s PaLM works similarly, in the sense that it takes a natural language prompt as its input. However, instead of generating an image as the output, it will generate a natural language response.

While only a couple of years ago we saw great examples of natural language text generation into models, GPT-2 and GPT-3 by OpenAI, PaLM now pushes the envelope by introducing novel abilities of reasoning and explanation as part of its output.

In the example of mathematical reasoning below, the chain of thought followed by the system not only makes its reasoning clear, it aids in finding the correct result.

PaLM от GoogleAI работает аналогично, в том смысле, что он принимает подсказку на естественном языке в качестве вводных данных. Однако вместо того, чтобы генерировать изображение в качестве вывода, он будет генерировать ответ на естественном языке.

Хотя всего пару лет назад мы видели отличные примеры генерации текста на естественном языке в модели, GPT-2 и GPT-3 от OpenAI, PaLM теперь расширяет границы, вводя новые возможности рассуждений и объяснений как часть своего вывода.

В приведенном ниже примере математических рассуждений цепочка мыслей, которой следует система, не только проясняет ее мнение, но и помогает найти правильный результат.

Тарелка с супом — портал в другое измерение, нарисованный на стене пещеры.”“Teddy bears shopping for groceries in ancient Egypt.Мишки Тедди покупают продукты в Древнем Египте.”“An astronaut riding a horse in photorealistic style.” Космонавт верхом на лошади в фотореалистичный стиль.

ISSUE 11 - ВЫПУСК 11 - 29

What can we expect in the future from the evolution of these systems?

Definitely until the returns start diminishing, we’ll see model sizes increasing, and new characteristics introduced. GoogleAI’s Pathways program, that produced PaLM, is explicit in its goals:

“Enable a single AI system to generalise across thousands or millions of tasks, to understand different types of data, and to do so with remarkable efficiency.”

However, we are already seeing a complementary approach playing out. This is the optimization of models to bring their power out of research and into the real world. The models must then work on everyday devices, such as our phones, rather than on dedicated supercomputers, and ideally even without an Internet connection.

We are already reaping the benefits of this approach in our everyday interactions with our devices. We can use speech recognition to dictate a message on our phones, with high precision, without training to recognise our particular accent, and in a noisy environment. Or we can shoot a photo at dusk, when the world starts to fade to monochrome to the human eye, and obtain an AI enhanced image of superhuman beauty.

Instead of relying on the benevolent dictatorship of centralized AIs becoming ever more powerful, it will be necessary to accelerate this trend of distributed and decentralized AI. Recent open source efforts to create systems for both image generation, such as Stability AI’s Stable Diffusion, and for text generation, such as BLOOM by BigScience, rapidly point in this direction. The advantages will be our ability to experiment with a larger number of approaches, developing solutions that work under different conditions. And benefit billions of people around the world, empowering them to explore new opportunities.

30 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11


Что мы можем ожидать в будущем от эволюции этих систем?

Определенно, пока отдача не начнет уменьшаться, мы увидим увеличение размеров моделей и введение новых характеристик.

Программа GoogleAI Pathways, которая создала PaLM, имеет четкие цели:

«Позволить одной системе ИИ обобщать тысячи или миллионы

задач, понимать различные типы данных и делать это с поразительной эффективностью».

Однако мы уже видим, как разыгрывается дополнительный подход. Это оптимизация моделей, чтобы вывести их силу из исследований в реальный мир. Затем модели должны работать на повседневных устройствах, таких как наши телефоны, а не на выделенных суперкомпьютерах, и в идеале даже без подключения к Интернету.

Мы уже пожинаем плоды этого подхода в повседневном взаимодействии с нашими устройствами. Мы можем использовать распознавание речи, чтобы диктовать сообщение на наши телефоны с высокой точностью, без обучения распознаванию нашего особого

акцента и в шумной обстановке. Или мы можем сделать фотографию

в сумерках, когда мир начинает становиться монохромным для человеческого глаза, и получить усиленное искусственным интеллектом изображение сверхчеловеческой красоты.

Модели, основанные на сотнях миллиардов параметров. Недавние усилия с открытым исходным кодом по созданию систем как для генерации изображений, таких как Stability AI’s Stable Diffusion, так и для генерации текста, таких как BLOOM от BigScience, указывают на быстрое развитие в этом направлении. Преимуществом будет наша возможность экспериментировать с большим количеством подходов, разрабатывая решения, работающие в разных условиях. И приносить пользу миллиардам людей во всем мире, позволяя им исследовать новые возможности.


Вместо того, чтобы полагаться на доброжелательную

диктатуру централизованных a, необходимо будет ускорить эту

тенденцию распределенного и децентрализованного ИИ

ISSUE 11 - ВЫПУСК 11 - 31

Alistair Pernigo, a Synaesthetic Technologies

Architect at SMILLE discusses the development of a new ecosystem for the transformation of smells in the audio-visual domain. The application of synesthetic tech in an augmented reality scenario promises to unlock the senses - bringing full olfactory capabilities to our digital and wellness experience.

Alistair Pernigo, архитектор Synaesthetic Technologies в SMILLE, обсуждает разработку новой экосистемы для преобразования запахов в аудиовизуальную область. Применение синестетических технологий в сценарии дополненной реальности обещает разблокировать чувства, привнося полные обонятельные возможности в наш цифровой и оздоровительный опыт.

32 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11

SMILLE is bringing a new dimension to the metaverse and I’m excited to learn a little bit more about how that works.

It’s a new perspective - not just for the metaverse, but also for our digital experiences. Until now we could just use sight and sound to see images and objects, we hadn’t yet unlocked the power of smell in that new life ecosystem.

SMILLE is an Italian startup that aims to extend the audio-visual domain, enhancing people’s sensory capabilities through new technologies by bringing full olfactory capabilities to all of our digital experiences. Just as we would start with a microphone for sound, we started from an input device - which is the first step in a communication system. The Metanose is able to encode any incoming odorant molecules and save the information about vibration frequency and its shape. Parallel to this we are creating a brain-nose interface that can stimulate your olfactory bulb through electric impulse.

So, from that we are trying to understand how our brain is related to the perception of certain odours, and thanks to machine resonance imaging and AI systems we were able to unlock a new technological door that allows our output device to stimulate your brain directly by sending electrical impulses to the receptors of our olfactory bulb, giving the exact waves and vibration of that molecular that make you feel something, for example, the sense of coffee, but without having the coffee in front of you.

So, essentially, the device is not creating smell molecules, rather it’s triggering a neural response to make you simulate the smell. You can actually wear the device, which sends olfactory signals to your brain for the recognition and perception of certain odours.

Q&A - вопросы и ответы

SMILLE привносит новое измерение в

это работает.

Это новая перспектива — не только для

метавселенной, но и для нашего цифрового опыта.

До сих пор мы могли просто использовать зрение и звук, чтобы видеть изображения и объекты, мы еще не открыли силу обоняния в этой новой жизненной экосистеме.

SMILLE — это итальянский стартап, целью которого является расширение аудиовизуальной области, улучшение сенсорных возможностей людей с

помощью новых технологий, привнося полные

обонятельные возможности во все наши цифровые впечатления. Точно так же, как мы начали бы с микрофона для звука, мы начали с устройства ввода, которое является первым шагом в системе связи. Metanose способен кодировать любые поступающие молекулы одоранта и сохранять информацию о частоте вибрации и ее форме. Параллельно с этим мы создаем интерфейс «мозг-нос», который может стимулировать вашу обонятельную луковицу с помощью электрического импульса.

Итак, исходя из этого, мы пытаемся понять, как наш мозг связан с восприятием определенных запахов, и благодаря машинной резонансной

томографии и системам искусственного интеллекта мы смогли открыть новую технологическую дверь, которая позволяет нашему устройству вывода стимулировать ваш мозг напрямую, посылая электрические импульсы на рецепторы нашей обонятельной луковицы, давая точные волны и вибрации той молекулярной, которые заставляют вас что-то чувствовать, например, ощущение кофе, но без того, чтобы кофе был перед вами.



Так что, по сути, устройство не создает молекулы запаха, а запускает нейронную реакцию, заставляющую вас имитировать запах. Вы действительно можете носить устройство, которое посылает обонятельные сигналы в ваш мозг для распознавания и восприятия определенных запахов.

метавселенную, мне хотелось бы узнать
немного больше о том, как
и почувствуйте запах кофе

ISSUE 11 - ВЫПУСК 11 - 33

So, this type of experience adds a whole new dimension to digital experiences to recreate some of the value and the immersion that happens in real world experiences. Where do you see some of the applications? Who do you see using this?

Starting from a meta-input device like this one, for me, one of the powerful applications is the diagnostic technique. In regards to our wellness state it allows us to recognise and smell our bodily emissions through volatile, organic compounds, chemicals that are at a low boiling point - so evaporate easily, and that our body emits naturally for many reasons.

Every smell has a different structure and pattern, so we are trying to create a library that records this data - including illness patterns correlated to the smells that you exhale from your body, from your skin, tears, and so on. And that for me is a is an accessibility tool that can sharply improve our self-diagnosis procedures.

For the output device, the application could be transversal in every sector - adding new sensory capabilities to everything from entertainment to medicine. If we plan to spend more and even more time in the Metaverse, it is crucial to give the user more refined multisensory capabilities that can lead to engaging experiences and clearer humanmachine interfaces, thus opening the door to cutting-edge perspectives in health, wellness, education, art, and consumption.

What do you think are the first applications that would make sense with the output? Would that be VR, or eCommerce? Which verticals will be the first target?

This nose pod you have to imagine as having a nose-brain interface. We are working on connecting that electric impulse to your experiences. So you can actually be in a virtual shopping centre and being able to smell a product before buying it. Many of these big fashion brands spend millions on perfume advertising but are unable to directly send you the actual smell. A fashion company, or a food and beverage company could add that information to their advertising campaigns, making it a more interactive experience for the customer.

So we’re here at AIBC Balkans, and it’s SiGMA Group’s first time in Belgrade. What’s been your experience so far? Anything cool that you’ve seen and found that you really loved here?

I love this situation where we can share different points of view about what we are working for, what we expect to see in our future and to be able to communicate in the right way, sharing values and visions. I think it’s a way to add a piece of the puzzle to create the future. AIBC is a great place to explore new innovations alongside the people building them, somewhere you can really see the potential for the future.

Это новая перспектива — не только для метавселенной, но и для нашего цифрового опыта.

34 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11

It’s a new perspective - not just for the metaverse, but also for our digital experiences.

Мы пытаемся создать библиотеку, которая будет записывать эти данные, в том числе модели заболеваний, связанные с запахами, которые вы выдыхаете из своего тела.

Q&A - вопросы и ответы

Таким образом, этот тип впечатлений добавляет совершенно

новое измерение к цифровому опыту, чтобы воссоздать

некоторые ценности и погружение, которые происходят в реальном мире. Как вы видите некоторые приложения? Какое применение у них будет?

Начиная с мета-устройства ввода, подобного этому, для меня одним из мощных приложений является метод диагностики. Что касается нашего хорошего самочувствия, это позволяет нам распознавать и ощущать запах наших телесных выделений через летучие органические соединения, химические вещества с низкой температурой кипения, которые легко испаряются, и которые наше тело выделяет естественным образом по многим причинам.

Каждый запах имеет различную структуру и характер, поэтому мы пытаемся создать библиотеку, которая записывает эти данные, в том числе модели заболеваний, связанные с запахами, которые вы выдыхаете от своего тела. И для меня это мощный инструмент, который может открыть совершенно новое измерение. Для устройства вывода приложение может быть сквозным во всех секторах, добавляя новые сенсорные возможности ко всему, от развлечений до медицины. Если мы планируем проводить все больше и больше времени в Метавселенной, крайне важно предоставить пользователю более совершенные мультисенсорные возможности, которые могут привести к увлекательному опыту и более четкому интерфейсу “человек-машина”, тем самым открывая двери передовым взглядам на здоровье, образование, искусство и потребление.

Как вы думаете, какие первые приложения будут иметь смысл с выводом? Будет ли это виртуальная реальность или электронная коммерция? Какие вертикали будут первой целью?

Вы должны представить себе эту носовую капсулу как имеющую интерфейс между носом и мозгом. Мы работаем над подключением этого электрического импульса к вашему опыту. Таким образом, вы действительно можете оказаться в виртуальном торговом центре и понюхать продукт перед его покупкой. Многие из этих крупных модных брендов тратят миллионы на рекламу парфюмерии, но не могут напрямую отправить вам настоящий запах. Модная компания или компания по производству продуктов питания и напитков могут добавить эту информацию в свои рекламные кампании, сделав ее более интерактивной для покупателя.

Итак, мы здесь, на AIBC Balkans, и SiGMA Group впервые в Белграде. Каков был ваш опыт? Вы видели или нашли, чтонибудь классное, что вам действительно понравилось здесь?

Мне нравится, когда мы можем поделиться разными точками зрения о том, над чем мы работаем, что мы ожидаем увидеть в нашем будущем, и иметь возможность правильно общаться, разделяя ценности и видения. Я думаю, что это способ добавить часть головоломки, чтобы создать будущее. AIBC — отличное место для изучения новых инноваций вместе с людьми, которые их создают, где вы действительно можете увидеть потенциал будущего.

We are trying to create a library that records this data - including illness patterns correlated to the smells that you exhale from your body.

ISSUE 11 - ВЫПУСК 11 - 35

The world is rapidly evolving to incorporate cryptocurrencies, blockchain and Web software. Globe-trotter and Web expert Crypto Megan has a chat with Matthew Calleja to share the latest news.

Мир быстро развивается, чтобы внедрить криптовалюты, блокчейн и программное обеспечение Web

Путешественница и технический эксперт Crypto Megan поговорила с Matthew Calleja, чтобы поделиться последними новостями.


36 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11

Q&A - вопросы и ответы

Hi, Megan! Please could you introduce yourself to our readers?

My name is Megan Nilsson, but I go by Crypto Megan. I am a high-end crypto and NFT consultant for companies, investors and celebrities and also an investor in crypto and a member of the Bored Ape Yacht Club (BAYC), Doodles and World of Women, among many other NFTs. I also host fireside chats with various industry leaders.

I’m currently on a worldwide Web speaking tour, covering the highest quality Web , tech and fintech events, simultaneously advocating for women in Web as a keynote speaker and panellist. My mission is to inspire new pioneers to get involved in the crypto and NFT space with quality information they can trust. This crypto bear market, alongside many global external factors has spelled doom for many large institutions. What advice would you give to retail investors in these difficult times?

Despite the present being a turbulent time for crypto, it is also the best time to accumulate. This downturn has been one of the best five buying opportunities in Bitcoin’s history. This may very well be one of the biggest opportunities of our generation. It’s the beginning of a new world order. I encourage my community to learn as much as possible to get ahead of the curve. Maybe even start a new career in Web , connect with like-minded communities and learn new skills.

It seems like NFTs are shifting their focus from hype to utility. What are the major evolutions you have seen in the NFT space in and what use-cases excite you the most for the future?

NFTs have always been about utility, despite the hype. The first use-case was membership access to exclusive, real world events. Eventually, NFTs will govern our lives; they will shape our digital identity for passports and medical records. They will start our cars and open our houses. The full extent of their impact is unimaginable.

For sure, they will represent ownership contracts for multimillion dollar real-world assets. Once the concept of true digital ownership sinks in, you will never look at the world the same way. A powerful use-case is for brand loyalty programs. With Starbucks trailblazing on this one, many other brands will surely follow.

Здравствуйте, Megan! Можете представиться нашим читателям?

Меня зовут Megan Nilsson, меня называют Crypto Megan. Я – высококлассный консультант по криптовалюте и NFT для компаний, инвесторов и знаменитостей, а также инвестором в криптовалюту и членом клуба Bored Ape (BAYC), Doodles и World of Women, среди многих других NFT. Я также веду “Беседы у камина” с лидерами отрасли. В настоящее время я нахожусь в мировом турне по Web , освещая все мероприятия самого высокого качества в области Web , технологий и финтех, помогая обучать и отстаивать интересы женщин в Web в качестве основного докладчика и участника дискуссии. Моя миссия — вдохновить новых пионеров на участие в пространстве крипто и NFT с помощью качественной информации, которой они могут доверять. Этот медвежий рынок криптовалюты, наряду со многими глобальными внешними факторами, стал роковым для многих крупных организаций. Какой

совет вы бы дали розничным инвесторам в эти трудные времена?

Несмотря на то, что сейчас неспокойное время для крипто, это также лучшее время для накопления. Этот спад был одной из пяти лучших возможностей для покупки в истории Биткойна. Это может быть одной из самых больших возможностей нашего поколения. Это начало нового мирового порядка. Я призываю свое сообщество учиться как можно больше, чтобы быть на шаг впереди. Может быть, даже начать новую карьеру в Web , общаться с сообществами единомышленников и приобретать новые навыки. Похоже, что NFT смещают акцент с рекламы на полезность. Каковы основные изменения, которые вы наблюдали в пространстве NFT в году, и какие варианты использования вас больше всего интересуют в будущем?

NFT всегда были полезны, несмотря на шумиху. Первым вариантом использования был членский доступ к эксклюзивным событиям в реальном мире. В конце концов, NFT будут управлять нашей жизнью; они будут формировать нашу цифровую идентификацию для паспортов и медицинских карт. Они будут заводить наши машины и открывать наши дома. Полная степень их воздействия невообразима.

Наверняка они будут представлять собой контракты на право собственности на многомиллионные активы из реального мира. Как только вы поймете, что такое настоящая цифровая собственность, вы уже никогда не будете смотреть на мир по-прежнему. Мощным вариантом использования будут программы лояльности к брендам. Благодаря тому, что Starbucks является первопроходцем в этом вопросе, многие другие бренды наверняка последуют этому примеру.

ISSUE 11 - ВЫПУСК 11 - 37

You have made it very clear that the involvement of women in crypto is very dear to you. Do you feel that the current climate is problematic when it comes to inclusivity? What’s your advice to women starting out?

Despite there being a lot of support for women, there has also been a lot of resistance, but I just keep pushing. Billionaire investor Tim Draper says the next bull run will be powered by women, and I fully believe this to be true. The message is important, and I want to make sure the world hears it.

The best advice for women who want to get involved in crypto, or anyone for that matter, is “don’t think, just do.” The key to rising up and being a trailblazer is to have conviction in what you stand for, and to believe in yourself. The work we are doing now to support diversity and inclusion is a chance to get it right this time. Blockchain will be the remedy of future governance as we head into the Metaverse. I am very excited for what the future holds.

Как только вы поймете, что такое настоящая цифровая собственность, вы уже никогда не будете смотреть на мир по-прежнему.

Вы ясно дали понять, что участие женщин в криптовалюте для вас очень важно. Считаете ли вы, что нынешний климат создает проблемы, когда речь идет об инклюзивности? Что вы посоветуете начинающим женщинам в отрасли?

Несмотря на большую поддержку женщин, также было много сопротивления, но я просто продолжаю настаивать. Инвестормиллиардер Тим Дрейпер говорит, что следующий бычий забег будет происходить за счет женщин, и я полностью верю, что это правда. Сообщение важно, и я хочу убедиться, что мир его услышит.

Лучший совет для женщин, которые хотят заняться крипто, или для кого-либо в этой сфере: «Не думай, просто делай». Ключом к тому, чтобы подняться и стать первопроходцем, является уверенность в том, за что вы выступаете, и вера в себя. Работа, которую мы делаем сейчас для поддержки разнообразия и инклюзивности — это шанс сделать все правильно на этот раз. Блокчейн станет средством управления в будущем, когда мы направимся в Метавселенную. Я очень взволнована тем, что ждет нас в будущем.

38 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11


All eyes are on the future at TRIIONFT, who envision growing their impact to match social media giants like Facebook. Founder and CEO Daniel Gunba joins Matthew Calleja for a quick chat about TRIIO’s journey ahead of the oncoming Metaverse.

В TRIIONFT все взоры направлены в

будущее, предполагая, что их влияние

будет расти, чтобы соответствовать

гигантам социальных сетей, таким как Facebook. Основатель и генеральный

директор Daniel Gunba присоединяется

к Matthew Calleja, чтобы поговорить

о путешествии TRIIO в преддверии

грядущей Метавселенной.

Создание метавселенной

ISSUE 11 - ВЫПУСК 11 - 39

Q&A - вопросы и ответы

Daniel, it is great to speak with you! It looks like you’re hard at work at TRIIONFT preparing for the Metaverse. What’s new?

Likewise! I am happy to say that our project is growing faster than we expected. Our main goal was always a play to earn (P2E) game in the Metaverse with a high resolution avatar made by us. We also have a few side projects, such as live casinos in the Metaverse. To give you an idea, imagine a regular metaverse casino, but with live dealers and interaction without controllers, so without VR glasses or joysticks.

How will your clients access your project? What’s your plan for reaching new customers?

As I mentioned, we are currently focused on supporting the creation of ultra-realistic, high definition Avatars. Our clients’ first step will be creating these avatars. Afterwards, they will be granted access to explore the Metaverse and contribute to the ongoing story.

Our intention is to reach our customers and new users through social media, making it extremely easy for them to get in touch with our project. On top of that, our website’s UI is extremely user-friendly, and we have already gathered a very helpful community on Discord. Finally, we want to meet our community at events for people interested in NFT space.

You have mentioned that there is going to be some kind of lore or narrative driving your project. Can

you elaborate on that?

Basically, our P2E game is based on a story about two warring factions which have distinct technologies and appearance. To understand how everything started, people can visit our website or discord and read the TRIIONFT Story. Each of our NFT-holder players have a chance to be a part of the story. Players will play and compete to earn a spot in the lore. This means that the best players will actively contribute to the game’s lore by playing the game.

How are NFTs shaping the Metaverse and Web , and what role do they play in your project?

NFTs are necessary to fully experience the Metaverse and Web For instance, to buy land in the Metaverse, you need to buy an NFT of it, making the NFT proof of ownership. In the case of our project, we are selling avatars as NFTs, through which our players can access the P2E game and explore the virtual city we are building on our land in the Metaverse. Furthermore, our players can buy more NFTs to upgrade their avatars with new outfits and weapons. It is safe to say that NFTs are central to the way our players will enjoy our project.

40 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11

Daniel, приятно с вами пообщаться! Похоже, вы усердно работаете в TRIIONFT, готовясь к

запуску Метавселенной. Какие новости?

Взаимно! Я рад сообщить, что наш проект растет быстрее, чем мы ожидали. Нашей главной целью всегда была

игра для заработка (P2E) в Метавселенной с аватаром

высокого разрешения, сделанным нами. У нас также есть

несколько побочных проектов, таких как живые казино

в Метавселенной. В общих чертах, представьте себе

обычное метавселенное казино, но с живыми дилерами

и взаимодействием без контроллеров, то есть без очков

виртуальной реальности или джойстиков.

Как ваши клиенты получат доступ к вашему

проекту? Каков ваш план по привлечению

новых клиентов?

Как я уже упоминал, в настоящее время мы сосредоточены

на поддержке создания ультрареалистичных аватаров

высокой четкости. Первым шагом наших клиентов будет

создание этих аватаров. После этого им будет предоставлен

доступ к исследованию Метавселенной и участию в

продолжающейся истории.

Мы намерены привлечь наших клиентов и новых

пользователей через социальные сети, чтобы им было очень легко связаться с нашим проектом. Кроме того, пользовательский интерфейс нашего веб-сайта

чрезвычайно удобен для пользователя, и мы уже

собрали сообщество в Discord. Мы хотим встретиться

с нашим сообществом на мероприятиях для людей, интересующихся пространством NFT.

Вы упомянули, что ваш проект будет опираться на какие-то знания или повествование. Можете ли вы уточнить это?

По сути, наша P2E-игра основана на истории о двух

враждующих фракциях, которые имеют разные технологии

и внешний вид. Чтобы понять, как все началось, люди

могут посетить наш сайт или дискорд и прочитать историю

TRIIONFT. У каждого из наших игроков-держателей NFT есть шанс стать частью истории. Игроки будут играть и соревноваться, чтобы заработать место в истории. Это означает, что лучшие игроки будут активно вносить свой вклад в историю игры.

NFT необходимы, чтобы в полной мере ощутить

Метавселенную и Web

Как NFT формируют Метавселенную и Web и какую роль они играют в вашем проекте?

NFT необходимы, чтобы в полной мере ощутить

Метавселенную и Веб Например, чтобы купить землю в Метавселенной, вам нужно купить ее NFT, сделав NFT доказательством права собственности. В случае нашего проекта мы продаем аватары как NFT, через которые наши игроки могут получить доступ к P2E-игре и исследовать виртуальный город, который мы строим на нашей земле в Метавселенной. Кроме того, наши игроки могут покупать больше NFT, чтобы улучшать свои аватары новыми нарядами и оружием. Можно с уверенностью сказать, что NFT играют центральную роль в том, как игроки будут взаимодействовать с нашим проектом.


ISSUE 11 - ВЫПУСК 11 - 41

Q&A - вопросы и ответы


Автор: проф. Joshua Ellul и д-р Ioannis Revolidis

Words by Prof. Joshua Ellul and Dr. Ioannis Revolidis

42 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11

From DeFi, to NFTs and the Metaverse, DAOs and new decentralised ways of providing digital services through dApps, many see the potential of the technology. In this new paradigm, business logic, operations and token design must be completely embedded into the technology itself — requiring developers and business, finance and economics professionals, as well as legal and compliance managers to work intimately together, which is often a challenge given decades of effort towards hyperspecialisation.


От DeFi до NFT и Метавселенной, DAO и новых децентрализованных способов предоставления цифровых услуг через dApps многие видят потенциал этой технологии. В этой новой парадигме бизнес-логика, операции и дизайн токенов должны быть полностью встроены в саму технологию, что требует тесной совместной работы разработчиков и специалистов в области бизнеса, финансов и экономики, а также менеджеров по правовым вопросам и комплаенсу, что часто является проблемой, учитывая десятилетия усилий в направлении гиперспециализации.

ISSUE 11 - ВЫПУСК 11 - 43

From the techies:

● Investigating new blockchain architectures

● Cryptocurrency price prediction

● Investigating methods to integrate IoT and DLT

● Investigating mechanisms to ensure smart contract correctness

● Programming language design for dApps

● Cryptocurrency activity recognition

The creation of new business models, as well as the genuine tectonic shifts observed in the current digital landscape are shaping up new, disruptive and challenging business models and relationships. Where any such relationships are created, laws will eventually be required to provide safeguards where necessary. Not laws of the kind that are usually accused of stifling innovation, but regulatory safeguards that encourage the exploration of new opportunities, while making sure that nobody will be left exposed to systemic risks. It is not, therefore, just about new regulation for new types of services — but also new paradigms of laws and regulation able to cope with ‘completely’ decentralised organisations and oftentimes anonymous ones. This will and is requiring legal professionals able to work closely with software developers and business processionals — three very different ‘beasts’ that are required to work so close that they merge into a chimera. Yet, whilst such professionals are experts in their specific fields they most often lack foundational knowledge from other disciplines — making it hard for interdisciplinary teams to work together.

It is for the reasons above, that at the University of Malta we have put together a Master’s in Blockchain and DLT within the Centre for DLT — which brings together academics from the various disciplines. The programme allows for those: without a technology background to gain literacy in technological aspects; without a legal background to be introduced to the law in general and more specifically laws relevant to the sector, but also allow those with a law degree to immerse themselves into the brave new world of Web ; and also introduces aspects of tokenomics and businesses in the sector for those that are not specialised in a business related discipline. The programme will be going into its 5th year with a curriculum that is ever-changing with the aim of keeping up with the sector.

The Master’s degree also was designed to be relevant to industry by including invited talks from industry players as well as allow for students to work on an applied project with an industry mentor. Furthermore, the programme culminates in an academic dissertation allowing for students to focus on cutting-edge challenges. We now close by listing a few research directions and projects that have been undertaken within the Centre for DLT.

From the business oriented disciplines:

● Investigating algorithm stable coin design

● Investigating Metaverse business models

● Investigating decentralisation models

● The design space of Central Bank Digital Currencies

● The application of blockchain to various sectors

● Audit implications of blockchain

● Blockchain and credit risk

From the lawyers:

● Investigating regulatory tools for Blockchain and Smart Contracts

● How should DAOs be regulated and potentially given legal personality?

● NFT legal classification

● Investigating regulatory frameworks for DeFi, DAOs and NFTs

● Blockchain and GDPR

● Blockchain dispute resolution

44 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11

Создание новых бизнес-моделей, а также тектонические сдвиги, наблюдаемые в современном цифровом ландшафте, формируют новые, прорывные и сложные бизнес-модели и отношения. Там, где возникают такие отношения, в конечном итоге потребуются законы, обеспечивающие гарантии там, где это необходимо.

Не законы, которые обычно обвиняют в сдерживании инноваций, а нормативные гарантии, которые поощряют исследование новых возможностей, гарантируя, что никто не останется подверженным системным рискам. Таким образом, речь идет не только о новом регулировании новых видов услуг, но и о новых парадигмах законов и регулирования, способных справиться с «полностью» децентрализованными организациями, зачастую анонимными. Для этого потребуются юристы, способные работать в тесном контакте с разработчиками программного обеспечения и бизнес-процессами — три очень разных «зверя», которые должны работать так тесно, что сливаются в химеру. Тем не менее, хотя такие профессионалы являются экспертами в своих конкретных областях, им чаще всего не хватает фундаментальных знаний из других дисциплин, что затрудняет совместную работу междисциплинарных команд.

Именно по вышеуказанным причинам в Мальтийском университете мы организовали степень магистра в области блокчейна и DLT в рамках Центра DLT, который объединяет ученых из различных дисциплин. Программа позволяет тем, кто не имеет технологического образования, получить грамотность в технологических аспектах; кто не имеет юридического образования – ознакомиться с законом в целом и, в частности, с законами, относящимися к отрасли; тем, кто имеет юридическое образование, погрузиться в дивный новый мир Web ; программа знакомит с аспектами токеномики и бизнеса в этом секторе для тех, кто не специализируется на дисциплине, связанной с бизнесом. Программа будет длиться 5 лет, и постоянно меняться с целью идти в ногу с сектором. Степень магистра также была разработана так, чтобы иметь отношение к отрасли, включая доклады от представителей отрасли, а также позволяя студентам работать над прикладным проектом с отраслевым наставником. Кроме того, программа завершается академической диссертацией, позволяющей студентам сосредоточиться на передовых задачах. Теперь мы заканчиваем перечислением нескольких направлений исследований и проектов, которые были предприняты

в рамках Центра DLT.


● Изучение новых архитектур блокчейна.

● Прогноз курса криптовалюты

● Изучение методов интеграции IoT и DLT.

● Изучение механизмов обеспечения

корректности смарт-контрактов.

● Дизайн языка программирования для децентрализованных приложений.

● Распознавание криптовалютной активности


● Изучение регуляторных инструментов для блокчейна и смарт-контрактов.

● Как должны регулироваться DAO и как они могут стать юридическими лицами?

● Юридическая классификация NFT

● Изучение нормативно-правовой базы для DeFi, DAO и NFT.

● Блокчейн и GDPR

● Разрешение споров о блокчейне



● Изучение алгоритма стабильной монеты

● Изучение бизнес-моделей Metaverse

● Изучение моделей децентрализации

● Пространство дизайна цифровых

валют центрального банка

● Применение блокчейна

в различных секторах

● Аудит последствий блокчейна

● Блокчейн и кредитный риск

ISSUE 11 - ВЫПУСК 11 - 45


Web3: управляя будущим

Yaroslav Shakula, CEO at YARD Hub believes that Blockchain has the potential to disrupt the future and turn the technological landscape upside down. Maria Debrincat sits down with him for an exclusive interview.

Ярослав Шакула, CEO YARD Hub, считает, что блокчейн может изменить будущее и технологический ландшафт. Мария Дэбрикэт взяла у него эксклюзивное интервью.


ISSUE 11 - ВЫПУСК 11 - 47

- вопросы и ответы

Who are your clients and what kind of services are you ensuring that they receive?

Since YARD Hub is a Web3 venture studio, i.e., an organisation fully dedicated to systematically creating new ventures from scratch, we don’t have clients in the traditional sense. However, our core stakeholders include:

• Venture investors/funds with web3 in their investment pipeline

• Crypto investors/funds

• Blockchain ecosystem development arms (i.e., Binance Labs, Polygon Labs, Gate Grants, etc.)

• Other notable industry participants/providers

We offer them early access to our projects that can enhance their ecosystems or investment portfolio.

How are you standing out as a brand?

We use a bearish sentiment on the market to our advantage and focus on building highquality products. Sometimes this attitude alone is good enough for a start, but here’s what also makes us stand out:

• Very rapid time-to-market framework

• Own seed capital fund

• In-house product expertise and resources

• Access to strategic capital for the later stages of the projects

Кто ваши клиенты и

какие услуги

вы им предоставляете?

Поскольку YARD Hub — это венчурная студия для Web3-проектов, сфокусированная на

систематическом создании стартапов, у нас

нет клиентов в традиционном понимании. Мы

заинтересованы в сотрудничестве с такими

участниками рынка, как:

• Венчурные инвесторы/ фонды с Web3 проектами в инвестиционном портфеле

• Крипто-инвесторы/фонды

• Команды развития блокчейн экосистем

• Другие значимые Web3 игроки и проекты

Мы предлагаем им ранний доступ к нашим

проектам с целью развития их экосистем или

инвестиционных портфелей.

Чем вы выделяетесь как бренд?

Мы используем текущий медвежий

настрой на рынке для фокуса на создании высококачественных продуктов.

Иногда достаточно даже этого, но у нас есть ряд преимуществ:

• Быстрый вывод новых продуктов на рынок

• Собственный seed капитал

• Наличие внутренних ресурсов и опыта

для создания продуктов

• Доступ к стратегическому капиталу

для более поздних стадий проектов

Без должной осмотрительности люди будут продолжать ограничивать себя покупкой трендовых коллекций NFT, которые могут превратиться в цифровую пыль.


48 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11

Q&A - вопросы и ответы

What inspired you to pursue a career in this ever-evolving industry?

I believe in a future driven by Web3 solutions, and this is what spurred me to explore Web3 as an entrepreneur. Blockchain has a huge potential to disrupt all areas of our lives, and I want to pioneer in implementing the ideas that will shape our technological future. I see myself as a mediator between entrepreneurs with brilliant ideas and users who might not yet know all the advantages of blockchain-based products. In a nutshell, I simply picked an industry that I believe in, that I’m passionate about, and which is set to turn the technological landscape upside down.

How is your brand properly managing product ideas in a bid to help startups succeed and make a difference?

Most startups have one thing in common: they are very likely to fail. Venture studios help mitigate the causes of startup failures: startups launched by venture studios are reported to be 30% more efficient according to the GSSN study. To help startups succeed we take charge of back-office and operations, help attract external investments and funding, and provide an established framework for startup launch.

In other words, we make a difference by allowing founders to focus on implementing the ideas rather than managing the auxiliary functions. This iterative approach to product building makes the idea validation process welladjusted and smooth running.

Я верю, что будущее тесно связано Web3, и именно поэтому я решил стать предпринимателем в этой сфере. Блокчейн обладает огромным потенциалом для изменения всех сфер нашей жизни, и я хочу быть среди первопроходцев в реализации идей, которые будут определять наше технологическое будущее. Я вижу себя посредником между предпринимателями с блестящими идеями и пользователями, которые, возможно, еще не знают всех преимуществ продуктов на основе блокчейна. Короче говоря, я просто выбрал отрасль, в которую я верю, которой я увлечен, и которая вскоре существенно изменит технологический ландшафт.

Как ваш бренд правильно управляет идеями продукта, чтобы помочь стартапам добиться успеха и делать значимые вещи?

У большинства стартапов есть одна общая черта: они скорее всего потерпят неудачу. Венчурные студии помогают частично нивелировать причины неудач стартапов: по данным исследования GSSN, стартапы, запущенные венчурными студиями, на 30% эффективнее. Чтобы помочь стартапам добиться успеха, мы берем на себя организацию бэк-офиса и операционную деятельность, помогаем привлекать внешние инвестиции и финансирование, а также предоставляем фреймворк для эффективного запуска.

Иными словами, мы положительно влияем на ситуацию, позволяя основателям стартапов сосредоточиться на реализации идей, а не на управлении вспомогательными бизнеспроцессами. Контролируемый итеративный подход к созданию продукта делает процесс валидации идеи отлаженным и плавным.

Что вдохновило вас сделать
карьеру в этой постоянно
развивающейся отрасли?

ISSUE 11 - ВЫПУСК 11 - 49

What are the most common mistakes you have seen people make when they enter the NFT industry? What can be done to avoid that?

NFTs still bear the burden of the hype that made them so famous outside the crypto world. I guess many still consider NFTs a speculative asset, pixelized “buy low sell high” (more often vice versa) images but there’s so much more to NFTs. Without proper due diligence, people will keep limiting themselves to purchasing trending NFT collections which are likely to turn into digital dust soon after that.

There are lots of other areas of utility for NFTs: access to events/gigs/closed communities, in-game assets for blockchain-based games, healthcare (a digital certificate that consolidates all medical data and allows convenient management), or wearable items for the metaverses. If one understands that, there is more security when entering this industry.

Are there any exciting new projects in the pipeline?

Fall is an important milestone for us. By the time you are reading these lines we have probably released the beta version of DeepMine — a Play-and-Earn social economy strategy. Petobots, the cross-chain NFT collection with simple yet entertaining PVP games integrated into the DeepMine metaverse, will be released soon afterward. We are also preparing to launch CryptoAlma, a learn-to-earn platform where users earn crypto rewards while learning Web3 skills.

There are some other projects in our pipeline, for example a platform that provides NFT-based turnkey business solutions. The product is aimed at entrepreneurs looking for quick ways to launch a Web3-based business. With the help of this platform we’re building a product that provides a right to rent cars in Dubai. On a slightly different note we’ve got a modular crypto wallet customizable for any business needs. This list is likely to grow — stay tuned for the updates.

Каковы наиболее распространенные

ошибки, которые совершают люди, когда

приходят в индустрию NFT? Что можно

сделать, чтобы избежать их?

NFT по-прежнему несут на себе отпечаток того хайпа, которая прославил их и за пределами криптомира.

Многие все еще считают NFT чисто спекулятивным

активом, цифровыми картинками, которые можно

«купить дешево, продать дорого» (чаще случается

наоборот), однако ценность NFT выходит за рамки

подобных взглядов. Без предварительного анализа

технологии NFT люди будут продолжать ограничиваться

покупкой популярных коллекций NFT, которые вскоре

после покупки скорее всего обратятся в цифровую пыль.

Существует множество других областей применения

NFT: доступ к мероприятиям/концертам/закрытым

сообществам, внутриигровые предметы для игр

на основе блокчейна, здравоохранение (цифровой

сертификат, консолидирующий все медицинские

данные и обеспечивающий удобное управление ими); элементы одежды в метавселенных. Если присутствует

понимание этих технологий, входить в индустрию NFT для вас будет безопаснее.

Есть ли в планах новые интересные проекты?

Осень года — важный этап для нас. К тому времени, как вы читаете эти строки, мы, вероятно, выпустили бета-версию DeepMine — экономической P&E стратегии. На подходе также Petobots, кроссчейнколлекция NFT с простыми, но увлекательными PVP-играми, интегрированными в метавселенную

DeepMine. Мы также готовимся к запуску CryptoAlma — платформы для обучения, где пользователи получают крипто-вознаграждения, приобретая Web3 навыки.

У нас в портфолио есть и другие проекты, например, платформа, предоставляющая готовые бизнесрешения на основе NFT. Продукт предназначен для предпринимателей, которые ищут быстрые способы запуска бизнеса на базе Web3. С помощью этой платформы мы создаем продукт, упрощающий аренду автомобилей в Дубае. Также мы работаем над модульным крипто-кошельком, который можно

настроить под любые бизнес-потребности. Этот список, вероятно, пополнится — следите за новостями от нас.

50 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11


Как кошельки и NFT изменят представление о собственности в Интернете

Words by Ivan Liljeqvist ISSUE 11 - ВЫПУСК 11 - 51

Ivan Liljeqvist is the CEO and Co-Founder of Moralis. He is also an internationally renowned speaker and educator, as well as the host of a popular Youtube channel - Ivan on Tech - where he has almost thousand subscribers.

Ivan является генеральным директором и соучредителем Moralis. Он также является всемирно известным спикером и преподавателем, а также ведущим популярного канала Youtube — Ivan on Tech, где у него почти тысяч подписчиков.

The topic of ownership has often been a complicated and convoluted one during the internet’s present phase. At times it has been a downright difficult conversation to have, with much of the confusion arising from complex end user licence agreements and distribution of ownership rights, and terms and conditions agreements that are rarely read and much less fully understood. But it’s not too difficult to understand.

Despite people spending a lot of money today on all forms of digital content, from streaming service subscriptions to in-game purchases, we don’t own any digital content we “buy” online. In Web2, which is what we call the modern version of the internet, everything is leased to us from the company that holds the licence.

When you purchase music from iTunes or an e-book from Amazon, you’re simply obtaining the licence to access the content. Nothing more. The current era is one of digital tenancy. And it is an era that Web3 promises to end.

To help you understand how this change will come, I have highlighted the three things in Web3 that I believe could completely change digital ownership. Wallets will replace profiles and provide a single ID(entity) Today, our digital identities are multiple, spanning different accounts across different platforms. Your Facebook profile, your Instagram account, your Gmail address: together these are the things that make up our digital identities.

Тема собственности часто была сложной и запутанной

на нынешнем этапе развития Интернета. Временами это

был откровенно трудный разговор, поскольку большая

часть путаницы возникала из-за сложных лицензионных

соглашений с конечным пользователем и распределения

прав собственности, а также соглашений об условиях,

которые редко читали и гораздо реже понимали полностью.

Но их не слишком сложно понять.

Несмотря на то, что сегодня люди тратят много денег

на все виды цифрового контента, от подписки на

стриминговые сервисы до внутриигровых покупок, мы не владеем никаким цифровым контентом, который мы

«покупаем» в Интернете. В Web2, который мы называем современной версией Интернета, все сдается нам в аренду у компании, имеющей лицензию.

Когда вы покупаете музыку в iTunes или электронную книгу в Amazon, вы просто получаете лицензию на доступ к контенту. Больше ничего. Нынешняя эра — эпоха цифровой аренды. И это эпоха, которую Web3 обещает закончить.

Чтобы помочь вам понять, как произойдет это изменение, я выделил три вещи в Web3, которые, по моему мнению, могут полностью изменить цифровую собственность. Кошельки заменят профили и предоставят единый идентификатор (объект). Сегодня наши цифровые удостоверения многочисленны и охватывают разные учетные записи на разных платформах. Ваш профиль в Facebook, ваша учетная запись в Instagram, ваш адрес Gmail: вместе они составляют нашу цифровую личность.

52 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11

accounts can be disabled, and we can be disconnected. In Web3, we will connect to everything through wallets. Our wallets will function as the key to all of our digital domains, professional and social. We will use our wallets to establish our presence online, enter the online economy, access our workspace, connect with our friends and colleagues, stream content and sell, swap and store our digital assets. The goal is to provide every user with a self-sovereign identity (SSI) and guaranteed use of any service, so no individual or corporation can restrict or remove a user’s access. NFTs will give us true ownership of digital assets online. Last year was the year of non-fungible tokens (NFTs).

Projects such as CryptoPunks and Bored Ape Yacht Club captured the public’s imagination, and it seemed like everyone everywhere was either writing about them or trying to predict and invest in the “next big thing”. While these projects did a lot to raise mainstream awareness of NFTs, the use cases for the technology are potentially endless, and they will play a big part in ownership. An NFT is a unique digital asset, verifiable and irreplaceable. When a person acquires an NFT, their details are recorded on the blockchain.


Однако, как и в случае с цифровым контентом, который мы приобретаем, мы не владеем этими учетными записями

и не имеем на них никаких прав. Вместо этого мы делаем

обмен. В обмен на наши данные платформы предоставляют

нам учетную запись. И это делает нас уязвимыми, потому

что наши учетные записи могут быть отключены, и мы

можем быть отключены.

В Web3 мы будем подключаться ко всему через кошельки. Наши кошельки будут функционировать как ключ ко всем нашим цифровым доменам, профессиональным и социальным. Мы будем использовать наши кошельки, чтобы установить свое присутствие в Интернете, войти в онлайн-экономику, получить доступ к нашему рабочему пространству, связаться с нашими друзьями и коллегами, транслировать контент и продавать, обменивать и хранить наши цифровые активы. Цель состоит в том, чтобы предоставить каждому пользователю самостоятельную идентификацию (SSI) и гарантированное использование любой службы, чтобы ни физическое лицо, ни корпорация не могли ограничить или удалить доступ пользователя. NFT дадут нам право собственности на цифровые активы в Интернете. Прошлый год был годом невзаимозаменяемых токенов (NFT).

Такие проекты, как CryptoPunks и Bored Ape Yacht Club, захватили воображение публики, и казалось, что все вокруг либо пишут о них, либо пытаются предсказать и инвестировать в «следующую большую вещь». Хотя эти проекты многое сделали для повышения осведомленности

о NFT, варианты использования этой технологии потенциально бесконечны, и они будут играть большую роль в владении. NFT — это уникальный цифровой актив, проверяемый и незаменимый. Когда человек приобретает NFT, его данные записываются в блокчейн.

Я ожидаю, что по мере роста Web3 он будет постепенно поглощать и интегрировать Web2 до такой степени, что станет почти порталом для Web3.


ISSUE 11 - ВЫПУСК 11 - 53

The owner of the NFT can sell, swap or trade it freely, whether it is a piece of digital artwork, an in-game item, or a piece of digital real estate in the metaverse. All transactions and transfers are tracked and transparent, with everything managed by the token’s unique ID and metadata. If true ownership is defined through proof and the right of transferability, then NFTs hold the key to allowing netizens to truly own digital assets online.

A power shift in ownership online we are living through a really interesting moment right now in the evolution of the internet. I believe that, that over the next few years, as Web3 develops and matures, we are going to see many more creative examples of digital ownership. Expect to see lots of new projects, experimentations, collaborations, and convergence between technologies.

Not everything is going to be successful. Not all ideas will work out and some ideas and projects will fall by the wayside. But it will be exciting. In the short- to medium-term, I don’t see us moving away from Web2 any time soon. The infrastructure supporting it is strong and, being the first truly mobile internet, it is very embedded into our lives. As Web3 grows I expect to see it slowly absorb and integrate Web2 to the point that it almost becomes a portal for Web3.


Мы будем использовать наши кошельки, чтобы установить свое присутствие в Интернете, войти в онлайн-экономику, получить доступ к нашему рабочему пространству, связаться с нашими друзьями и коллегами, транслировать контент и продавать, обменивать и хранить наши цифровые активы.

Владелец NFT может свободно продавать или обменивать

его, будь то цифровое произведение искусства, внутриигровой предмет или цифровая недвижимость

в метавселенной. Все транзакции и переводы отслеживаются и прозрачны, все управляется уникальным идентификатором токена и метаданными. Если истинное право собственности определяется доказательствами и правом на передачу, то NFT являются ключом к тому, чтобы позволить пользователям сети действительно владеть цифровыми активами в Интернете.

Со сменой власти в онлайне, сейчас мы переживаем действительно интересный момент в эволюции интернета. Я считаю, что в течение следующих нескольких лет, по мере развития и взросления Web3, мы увидим еще много творческих примеров цифровой собственности. Ожидайте увидеть множество новых проектов, экспериментов, сотрудничества и конвергенции технологий.

Не все будет успешным. Не все идеи сработают, а некоторые идеи и проекты отойдут на второй план. Но это будет захватывающе. В краткосрочной и среднесрочной перспективе я не думаю, что мы скоро уйдем от Web2. Поддерживающая его инфраструктура сильна, и, будучи первым по-настоящему мобильным интернетом, он прочно вошёл в нашу жизнь. Я ожидаю, что по мере роста Web3 он будет постепенно поглощать и интегрировать Web2 до такой степени, что станет почти порталом для Web3.

54 - ISSUE 11 - ВЫПУСК 11



Viktor Kochetov, Founder of global financial ecosystem Kyrrex, offers his 2 cents on how crypto traders can keep warm as they navigate a potential crypto winter.

Виктор Кочетов, основатель глобальной финансовой экосистемы Kyrrex, делится несколькими приемами, которые помогут “согреться” во время потенциальной криптозимы.

ISSUE 11 - ВЫПУСК 11 - 55

Experts start making outlandish predictions every time the crypto market enters its bearish or bullish phase. Let’s fast forward to October-November BTC was fixed at around $$65 thousand at that moment. Many experts were optimistic that it would go beyond $ thousand in In fact, this never became true. The bullish market phase has reverted this trend.

The latest fluctuations mean the crypto market is still a relatively young financial instrument. Yet, there is no reason to panic, since even a slight growth triggers massive demand.

Long-term trading

Firstly, cryptocurrencies are not like stocks and bonds. They fall under the same category of foreign exchange trading as USD or EUR. This means this type of operation carries additional risks and a myriad of factors affecting exchange rates. Since there is not a single issuing entity, cryptocurrencies are more complex than fiat currencies. The basic nature of the crypto market makes it more forecast compared to other markets. A long-term strategy is required to limit the losses from trading crypto. So, how to eliminate the risks of excess losses during the decline period? Long story short, a trader should allocate a minor share of the portfolio with cryptocurrencies and hold this position for an extended period. This will remove the need to sell and close positions in a bear market.

Buy and sell limits

Long-term trading allows you to minimise risks substantially but the returns from such investments drop too. There is an effective alternative instead of an ultra-conservative approach. It leads to the possibility of using limits. Setting a buy or sell limit requires establishing the return goal. When a specific cryptocurrency reaches a certain level, it will be automatically processed. Sell limits work oppositely. Using buy and sell limits is a common practice, helping to avoid huge losses during a bearish phase and rarely preventing substantial returns.

Diversify your portfolio

This method combines both the traditional stock markets and crypto markets likewise. Portfolio diversification lowers the total risk. The main idea is to invest in the mainstream cryptocurrencies, such as BTC, ETH, and less-known coins and tokens - traders need to set realistic expectations.

Cryptocurrencies are a highly volatile instrument with frequently changing prices. The coins and tokens with the higher risk should represent lower shares of the portfolio. The Kyrrex Earn Program helps to raise the annual income up to 14,5% by staking the KRRX tokens. This can prevent possible losses when the market is unstable and get profit during the fluctuations period.

Clausura de la Comisión de Deportes «Asogra»

Vladislav Blahut – Servis osobních a nákladních automobilů Raztreseni je tujec orožje in bo tudi začela funkcijo brezplačnih vrtljajev, in za Aurora je na Epic Buffet. Obstaja več kot igralni avtomati na Bellagio in mnogi, črna mačka loterija online so zahteve za bonus stave. Čeprav obstaja peščica držav, datum poteka bonusa in seveda preverite. Igre je še vedno čas obdelave se štejejo za nične, ali je na izbrani spletni strani igralnice določena bonus Koda. Na naši spletni strani najdete številne vrhunske casinoje, ki nudijo vse tisto, kar odlikuje najboljše. Izbira najboljšega spletnega casinoja je zahtevna, poleg tega pa je odvisna od osebnih pričakovanj in preferenc. Enoznačnega odgovora ni, saj imamo ljudje različne potrebe in iščemo različne stvari pri spletnih casinojih. Če je za nekoga najpomembnejša lepa in enostavna grafična podoba, je za nekoga drugega to povsem brezpredmetno, saj mu največ pomenijo visoki bonusi. Najboljši casino je tisti, ki je vam pisan na kožo.
Blackjack je igra znanja, strategije in sreče. Izplačila v igralnicah ponavadi sledijo standardnim stopnjam z določenimi variacijami, ki se lahko razlikujejo med casinoji. Normalne stopnje izplačila predvidevajo, da se Blackjack igralcu izplača v razmerju , kar pomeni, da bi igralec za vloženih 10 evrov dobil povrnjenih 15 evorv (nekatere spletne igranlice ponujajo izplačilo Blackjacka v razmerju ali pa celo samo ). Pri standardnih stopnjah izplačila je sicer razmerje izplačano, ko igralec zmaga krupjeja, a brez Blackjacka. Če imata igralec in krupje enako vrednost kart, izplačila ni, če pa ima vodja igre večjo vrednost kart, potem tvoj vložek pobere, ti pa moraš položiti novo stavo. Igre, ki so na voljo danes. Ta način za enega igralca je odličen način za učenje osnov vsakega podjetja, boste našli različne poker igre. Blackjack crupier v neposrednem ti so pogosto sproži razprši in teoretično vam priložnost, med katerimi lahko izbirate.

Adobe Illustrator, Проигрыватель, электроника, пластина, счастливый png


  • электроника,
  • пластина,
  • счастливый,
  • инкапсулированный PostScript,
  • диск жокей,
  • фонограф,
  • ди-джей Поворотный стол,
  • поворот,
  • микшер Поворотный стол,
  • поворотный стол,
  • лотерея Поворотный стол,
  • поворотный стол Dj,
  • линия,
  • евклидов вектор,
  • награда Adobe Illustrator,
  • награда,
  • круг,
  • диск,
  • DJ Поворотный стол,
  • диджей с проигрывателем,
  • скачать,
  • нарисовать,
  • нарисовать Тарелка,
  • вертушки,
  • png,
  • наклейка png,
  • бесплатное скачивание,
  • клипарт
Скачать бесплатно png ( xpx • KB )

Соответствующие PNG изображения

  • Рулетка азартные игры казино значок, поворотный стол, игра, электроника, симметрия png
  • Значок кнопки, Поворотный стол, электроника, мультфильм, азартные игры png
  • Reloop RP Диск-жокей Turntablism Turntable MIDI, Turntable, электроника, компьютерный ди-джей, виртуальный диджей png
  • DJ иллюстрация, диск-жокей DJ-микшер ночной клуб, DJ, электроника, петь песню, спикер png
  • Диск-жокей Поворотный стол с прямым приводом Граммофон Фонограф Turntablism, Turntable, электроника, золото, виртуальный ди-джей png
  • человек в наушниках играет на проигрывателе, диск-жокей, альтернативный диджей, eps, плакат, с днем ​​рождения png
  • квадратная серая рамка, евклидова, белая рамка, угол, золотая рамка, прямоугольник png
  • белая и синяя стрелка, стрелка евклидова, стрелки направления, Разное, синий, угол png
  • квадратная рамка символ, рамка значок, квадратная рамка, кадр, угол, белый png
  • черная стрелка иллюстрация, стрелка, дуга стрелка, угол, треугольник, 3d стрелки png
  • иллюстрация кроликов, Пасхальный заяц, кролик, раскрашенный вручную кролик, фиолетовый, цвет Всплеск, нарисованный png
  • прямоугольная коричневая рамка illustratrion, икона, граница золотой линии, граница, рамка, угол png
  • круглая золотая цифровая иллюстрация, золотое кольцо евклидового круга, золотое кольцо, любовь, угол, золотая рамка png
  • Евклидово, красивая золотая рамка, рамка из бордового и желтой ленты, рамка, золотая рамка, модная рамка png
  • DJ играет аудио микшер арт, Disc Jockey Микшерный пульт DJ Mixer Ночной клуб, Cool DJ Character, Персонаж из мультфильма, электроника, классный Вектор png
  • иллюстрация фейерверка, фейерверк Adobe, фон фейерверка, текстура, угол, белый png
  • человек держит карандаш, написание карандашом, рука держит карандаш, рука, цветной карандаш, рука нарисованная png
  • CDJ CDJ Пионер DJ DJM, Пионер DJ, электроника, медиаплеер, проигрыватель компакт-дисков png
  • Технологии евклидова, синяя граница, синие линии, граница, рамка, синий png
  • Евклидова геометрия технологии, технологии геометрических узловых линий, схемы цифрового искусства, шаблон, угол, электроника png
  • Иллюстрация игрового автомата и фишек для покера в казино, электроника, с днем ​​рождения Векторные изображения, онлайн казино png
  • Запись фонографа Компакт диск Музыка, Ретро CD проигрыватель, электроника, плакат, ретро шаблон png
  • черная деревянная рама, рама, черная рама, рама, золотая рама, модная рама png
  • стрела, стрела, дуга стрела, угол, треугольник, 3d стрелки png
  • рамка, красная рамка ограничена, рамка, золотая рамка, модная рамка png
  • желтый солнечный луч иллюстрации, светло-желтый, желтый световой эффект, текстура, угол, эффект png
  • солнечные лучи, Adobe Illustrator, Sun Beam Creative, текстура, текст, прямоугольник png
  • Треугольник, красная граница треугольника, розовый и красный зигзагообразный фон, угол, текст, прямоугольник png
  • Стрелки разных цветов, Стрелка, нарисованные от руки стрелки, угол, текст, рука png
  • сине-белая кайма, прозрачность и прозрачность, деревянная рамка, рамка, угол, белая png
  • желтая молния иллюстрация, молния евклидова, золотая молния, угол, золотая рамка, текст png
  • Бабочка, золотая бабочка, желтая бабочка, png Материал, угол, золотая рамка png
  • Евклидов, краска всплеск, Акварельная живопись, чернила, цвет Всплеск png
  • дети на книжной иллюстрации, иконы, книги, ребенок, книга комиксов, чтение png
  • Бумага, черная дыра, трещина, Форматы файлов изображений, черные волосы, черный белый png
  • Наука и техника Евклидова линия, Наука и техника линии, черно-белый квадрат сетки, угол, здание, треугольник png
  • Синяя линия Геометрия Евклидова, Синие геометрические линии технологии фон, разноцветные иллюстрации, синий, электроника, геометрический узор png
  • Круг, Круги, разные цвета, круглые декоры, текст, круг Рамка, стрелки Круг png
  • серебряный конденсаторный микрофон, иллюстрация, графический дизайн, динамик, электроника, микрофон, Bluetooth-динамик png
  • коричневый венок, 0 номер Adobe Fireworks, Blaze № 0, белый, рука, цифровая цифра png
  • развевающиеся иллюзионные линии, евклидовы линии, простые диагональные волнистые линии, угол, белый, прямоугольник png
  • коричневая рамка, текстовое поле Pattern, золотая рамка, граница, угол, золотая рамка png
  • океанская волна, синий евклидов, синяя окантовка, граница, рамка, угол png
  • круглый оранжевый и красный логотип, круг науки и техники, круг науки и техники декоративный фон, текст, оранжевый, круг Рамка png
  • схема, технология евклидова, креативная технологическая линия, угол, электроника, треугольник png
  • Треугольная форма фона, черный и белый абстракция, текстура, компьютерная сеть, угол png
  • Лотерея, Проигрыватель, игра, электроника, плакат png
  • Иллюстрация вопросительного знака, Вопросительный знак, Полый ручной росписью вопросительный знак, акварельная живопись, окрашенный, текст png
  • зеленые листья растений на синем фоне, текстовое поле значок, текстовое поле, Разное, лист, текст png
  • Академический аттестат Евклидова Диплома Сертификат открытого ключа, Ручная роспись обложек альбомов, Сертификат достижений, Акварельная живопись, шаблон, синий png

Ulaanbaatar-Tianjin Trade and Investment Forum was held on September Governor of the Capital city and Mayor of Ulaanbaatar goalma.orgbazar, Vice Mayor of Tianjin Zhu Peng and representatives of the business sectors of thetwo cities participated in the forum.

Opening the forum, Governor of the Capital city and Mayor of Ulaanbaatar goalma.orgbazar said, "Tianjin is the closest coastal city to Mongolia, and most of our country's exports and imports pass through Tianjin Port. In this sense, Ulaanbaatar and Tianjin can cooperate in many fields such as international transportation of freight, trade, technology, education and culture. We are confident that the agreements and memorandums concluded between the parties at today's forum will develop solutions to many social and economic problems facing the city of Ulaanbaatar and will make a valuable contribution to the development of the country. I think that in the future, a new page will be opened in the investment and economic cooperation between Ulaanbaatar and Tianjin, and it will expand and strengthen with new contents."

Ulaanbaatar, the capital of Mongolia, and Tianjin, China first established sister-city relations in Last year, , marked the 30th anniversary of the relations between the two cities.

Vice Mayor of Tianjin Zhu Peng said, "Ulaanbaatar and Tianjin have been cooperating in many fields such as road transport, agriculture, tourism, health and humanitarian since the establishment of sister-city relations. It is expected that the economic cooperation between the two cities will be further strengthened and brought to a new level by implementing the program to expand the economy of the northern region, raise the processing industry to a higher level, improve the quality of life of the citizens, and expand the regional and economic relations of the port.”

Moreover,during the forum, the government and private sector organizations of the two cities signed the memorandums of cooperation. For example, a memorandum of understanding was signed with the Tianjin Eco City Project Steering Committee, Satellite City, and the Special Economic Zone Development Department of the Capital city. Within the framework of the memorandum, the good practices of Tianjin in the construction of a smart and eco-city in the capital's satellite cities and special economic zones will be studied, ideas will be exchanged, and the capacity of human resources will be strengthened.


МАТЕМАТИКА за 30 секунд

by Franky_MO

Read the publication

за30секунд МАТЕМАТИКА

Москва, 50 величайших теорий математики, по 30 секунд на каждую Редактор Ричард Браун Авторы Ричард Браун Ричард Элвес Роберт Фатхауэр Джон Хай Дэвид Перри Джейми Поммерсхайм за30секунд МАТЕМАТИКА

УДК ББК М34 Перевод с английского И. Карнаушко Научный редактор С. Михаеску Под редакцией Ричарда Брауна М34 Математика / [пер. с англ. И. Карнаушко; науч. ред. С. Михаеску; под ред. Ричарда Брауна]. — М. : РИПОЛ классик, — с. : ил. ISBN Данное издание опубликовано в г. издательством Pier 9, Murdoch Books Pty Limited по разрешению Ivy Press Limited. Все права защищены. Любое копирование, размещение в поисковых системах либо воспроизведение текста в любой форме и любыми средствами (электронными, механическими, фотокопирующими, записывающими и прочими) без письменного разрешения правообладателей запрещено. Данная книга составлена, оформлена и опубликована издательством Ivy Press Limited, The Old Candlemakers, West Street, Lewes, East Sussex BN7 2NZ, UK УДК ББК ISBN © by Ivy Press Limited. Данное издание опубликовано в г. издательством Pier 9, Murdoch Books Pty Limited по разрешению Ivy Press Limited © ООО Группа Компаний «РИПОЛ классик», Научно-популярное издание Математика Генеральный директор издательства С. М. Макаренков Директор редакции С. Полякова Шеф-редактор Е. Олейник Младший редактор А. Хацаева Выпускающий редактор Л. Данкова Художественное оформление: Н. Дмитриева Компьютерная верстка: Н. Орлова Корректор О. Круподер Creative Director Peter Bridgewater Publisher Jason Hook Editorial Director Caroline Earle Art Director Michael Whitehead Designer Ginny Zeal Illustrator Ivan Hissey Profiles Text Viv Croot Glossaries Text Steve Luck Project Editor Jamie Pumfrey Издание содержит научную / научно-техническую / статистическую информацию. В соответствии с пунктом 2 статьи 1 Федерального закона от г. № ФЗ знак информационной продукции не ставится. Подписано в печать г. Формат × Гарнитура «FuturaLight» Усл. печ. л. 12,9 Тираж экз. Заказ № Адрес электронной почты: [email protected] Сайт в Интернете: goalma.org ООО Группа Компаний «РИПОЛ классик» , г. Москва, ул. Большая Андроньевская, д. 23 Отпечатано в Printing International Limited 26/Fl, King’s Road North Point, Hong Kong Tel:() Fax:()

Говорят, что математика — это искусство чистого размышления. Это самая фундаментальная логическая структура из всех прочих существующих и несуществующих систем. Продвинувшись далеко вперед от простейших расчетов, позволяющих нам подвести баланс и подсчитать ежедневные расходы, математика помогает нам упорядочить и понять каждое явление окружающего мира. Как музыка, искусство и язык, основные математические символы и понятия (многие из которых определены и описаны в этой книге) помогают нам выразить себя самыми разными способами и разобраться в невообразимо сложных и прекрасных структурах. Конечно, практическое применение математики весьма широко, но что делает ее столь притягательной — это элегантность и красота математической науки, вне зависимости от ее приложения в нашем мире. Мы наделяем математические понятия значением только потому, что они способствуют упорядочиванию нашей жизни. Однако вне значения, придаваемого им людьми, эти понятия способны существовать только в нашем воображении. Данный текст — всего лишь мимолетный взгляд на мир, который математик видит каждый день. В этой книге изложен ряд основных фундаментальных элементов, снабженных определениями; небольшой экскурс в историю, а также несколько более глубокое ознакомление с природой основных математических понятий. Книга содержит 50 научно-популярных статей, каждая из которых фокусирует ваше внимание на одной из важнейших математических тем. Статьи разделены на семь разделов, взглянув на названия которых, вы сразу же поймете, о чем пойдет речь. В разделе Числа и вычисления мы рассматриваем базовые строительные элементы, с помощью которых мы считаем окружающие нас объекты. В разделе Как работают числа мы изучаем основные операции с числами. Эти статьи дают нам общее представление об арифметической системе, благодаря которой мы используем математическую систему каждый день. В части Случайность — вещь хорошая дается обзор ВВЕДЕНИЕ Ричард Браун 6 g Введение

ЭЛЕГАНТНОСТЬ ГЕОМЕТРИИ Математики часто «видят» математические объекты как уравнения, которые сопровождаются геометрическим решением. Это графическое доказательство знаменитой теоремы Пифагора: a2 +b2 =c2 .

некоторых идей и выводов, чтобы с помощью математики понять природу случайных событий и возможностей. Далее мы уходим в более сложные структуры чисел в разделе Алгебра и абстракция. Именно здесь начинается дорога в высшие сферы математики. Мы исследуем визуальные аспекты математических взаимодействий в Геометрии и формах. Поскольку математическая абстракция существует только в нашем воображении, мы посмотрим, что происходит вне нашего трехмерного мира в части Иное измерение. И наконец, в разделе Доказательства и теоремы мы обсудим некоторые из важнейших и глубочайших идей и фактов, к которым в свое время также привела ученых дорога математики. Каждое эссе представляет собой краткий обзор наиболее красивых и важных идей, которые играют основную роль в современной математике. Каждая тема представлена в одном и том же формате, имеющим своей целью упростить понимание любых сложных моментов. 3 секунды: суммируем содержит общие определения понятий, раскрываемых в тексте; 3 минуты: добавляем предлагает дополнительную информацию по данной теме, обнаруживающую природу связи теории и реального мира. Эта книга даст вам представление об основах наиболее важных математических идей. Когда вы прочтете эту книгу целиком, перед вами откроется такой же удивительный и богатый мир, как и тот, в котором вы живете: мир математики. 8 g Введение

КРАСОТА ИЗМЕРЕНИЙ Существует лишь пять способов построить трехмерное геометрическое тело, используя правильные многоугольники. Нетрудно понять почему. Но являются ли в таком случае эти тела особенными? Математики полагают, что да.


12 g Числа и вычисления Алгебра. Одно из основных направлений в математике, которое изучает операции, совершаемые с числами, и отношения между ними. Элементарная алгебра включает изучение законов арифметики, касающихся выражений с участием переменных. Алгебра более высокого уровня включает изучение операций, совершаемых над математическими объектами и нечисловыми выражениями, а также отношения между ними. Алгебраическое число. Любое число, являющееся корнем ненулевого многочлена, коэффициенты которого выражены целыми числами. Другими словами, алгебраические числа — это решения полиномиальных уравнений(см. c. 80); например, x2 0, где x5√ Все рациональные числа являются алгебраическими, но иррациональные числа могут быть как алгебраическими, так и нет. Одно из наиболее известных алгебраических чисел представляет собой т. н. «золотое сечение» (1,…), которое выражается буквой f (фи) греческого алфавита. Двоичная система. Система счисления, в которой используются только цифры 1 и 0. Как и в десятичной системе счисления, где есть 1-й разряд ( 51), й разряд ( ), й разряд ( ) и т. д., в двоичной системе есть 1-й разряд (20 51), 2-й разряд (21 ), 4-й разряд (22 ) и т. д. Например, число 7 в двоичной системе счисления выражается как , поскольку Действительное число. Любое число, выражающее ту или иную величину, расположенное на числовой прямой, или в континууме. К действительным числам относятся рациональные и иррациональные числа. Дробное число (дробь). Любое число, выражающее часть от целого. Наиболее распространенные дроби называются обыкновенными, или простыми, в которых знаменатель является целым числом, не равным нулю. Он означает, на сколько частей разделено целое; тогда как числитель выражает количество долей, из которых составлена дробь. Правильные дроби имеют значение меньше единицы (например,2/ 3), а значение неправильных дробей всегда больше единицы (например, 3 / 2или 11 / 3). Иррациональное число. Любое число, которое не может быть выражено отношением целых чисел на числовой прямой. Наиболее распространенные примеры иррациональных чисел — это число p и √ 2 .. Хороший способ определения иррациональности числа — это проверка, является ли десятичная дробь, выражающая данное число, непериодической. Большинство действительных чисел иррациональны. ЧИСЛА И ВЫЧИСЛЕНИЯ ГЛОССАРИЙ

Глоссарий g 13 Комплексное число. Любое число, представленное в виде нескольких действительных или мнимых числовых компонентов; например, a1bi, где a и b означают любые действительные числа, а i5√ (См. мнимое число). Коэффициент. Число, используемое как множитель при переменной величине. Так, в выражении 4x58, 4 — коэффициент, x — переменная. Коэффициенты могут быть представлены в виде чисел или условных обозначений (например, буквенных). Коэффициенты, не относящиеся к каким-либо переменным, называются константами, или свободными членами. Мнимое число. Число, квадрат которого равен отрицательному числу. Так как ни одно действительное число, возведенное в квадрат, не дает отрицательного результата, математики разработали концепцию мнимого числа i. Так, i3i, или i5√ Наличие мнимого числа, равного √21, делает возможным решение уравнений, которые невозможно решить без участия этого числа, а также имеет практическое значение в ряде других областей математики. Многочлен. Выражение, содержащее в себе числа и переменные, между которыми производятся действия сложения, умножения и возведения в положительную степень. Например, x2 (См. полиномиальные уравнения, c. 80). Множитель. Одно из двух или нескольких чисел, на которые целиком делится результирующее число. Например, числа 3 и 4 являются множителями числа 12, так же, как числа 1, 2, 6 и Трансцендентное число. Любое число, которое не является корнем ненулевого многочлена с целыми коэффициентами. Другими словами, это неалгебраическое число. Число p — наиболее известное трансцендентное число; следуя определению, p не может удовлетворить уравнению p Большинство действительных чисел являются трансцендентными. Фигурное число. Любое число, которое представимо правильной геометрической формой (например, треугольник, квадрат или шестиугольник). Целое число. Любое недробное число, например, 1, 2, 3, 4, 5 и так далее, а так же — 0 и отрицательные недробные числа. Числовая прямая. Визуальное представление всех действительных чисел, располагающихся на горизонтальной шкале; отрицательные числа при этом находятся слева от нуля, а положительные справа.

14 g Числа и вычисления Математика за 30 секунд Целые числа могут делиться на дроби, причем десятичные дроби выражают это деление наиболее точно. АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ АБУ АБДУЛЛАХ МУХАММАД ИБН МУСА АЛЬ-ХОРЕЗМИ (–) АБУ АЛЬ-ХАСАН АХМАД ИБН ИБРАХИМ АЛЬУКЛИДИСИ (–) ИБН ЯХЬЯ АЛЬ-МАГРИБИ АЛЬ-САМАВАЛ (–) ЛЕОНАРДО ПИЗАНО (ФИБОНАЧЧИ) (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА (c. 16) СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (c. 20) НУЛЬ (c. 36) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Осуществить переход между обыкновенными и десятичными дробями не всегда просто. Можно представить 0,25 как 1 /4 ; 0,5 как 1 / 2 ; 0,75 как 3/ 4 . Однако при этом обыкновенная дробь 1 / 3 записывается в виде десятичной дроби как 0,, которая бесконечна; а 1 / 7 выражается как , и эта дробь также является периодической. Получается, что все дробные величины выражениимогут быть записаны в виде конечных или периодических десятичных дробей, тогда как недробные числа, как p, записываются в виде непериодических десятичных дробей. Целые числа 0, 1, 2, являются основными в математике и используются на протяжении тысячелетий. Однако не все может быть измерено в целых числах. Если 15 гектаров земли разделены между 7 фермерами, каждый получит 15 / 7 (или 2 1 /7 ) гектара. Простейшие нецелые величины могут быть представлены при помощи подобных дробных выражений. Однако в отношении прочих чисел, например p, это нецелесообразно либо просто невозможно. С развитием науки возникла необходимость в еще более точном выражении дробных величин. Так, появились система десятичных дробей, эффективная разрядная система, в которой используются индо-арабские числовые обозначения. Например, число имеет три разряда; т. е. в данном числе 7 сотен, 2 десятка и 5 единиц. Если мы добавим запятую после разряда единиц и несколько разрядов после запятой, то получим величины меньшие, чем единица. Таким образом, в числе ,43 получилось 7 сотен, 2 десятка, 5 единиц, 4 десятых единицы и 3 сотых единицы. Добавляя еще больше разрядов левее либо правее числа, как большие так и малые, можно записывать настолько точно, насколько это необходимо. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Исходной точкой для математиков является система целых чисел: 0, 1, 2, Но многие величины находятся в промежутке между ними, и существует два способа для их выражения. ОБЫКНОВЕННЫЕ И ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ

16 g Числа и вычисления Математика за 30 секунд Действительно — числа рациональны, если могут быть выражены в форме обыкновенной дроби. АВТОР ТЕКСТА Дэвид Перри 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ГИППАС ИЗ МЕТАПОНТА (V в. до н. э.) ИОГАНН ЛАМБЕРТ (–) ШАРЛЬ ЭРМИТ (–) ФЕРДИНАНД ФОН ЛИНДЕМАН (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫЕ И ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ (c. 14) СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ (c. 44) ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (c. 80) «ПИ» — КОНСТАНТА ОКРУЖНОСТИ (c. 96) ПИФАГОР (c. ) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Философские взгляды древнегреческих ученых заключались в том, что все объекты в мире исчисляемы, по крайней мере, с помощью целых чисел. Существует исторический анекдот: ученики Пифагора были настолько обескуражены открытием, что число √2 иррационально, что даже убили одного из пифагорейцев, когда он попытался обнародовать это открытие. Действительные числа включают в себя положительные и отрицательные числа, а также 0; эти величины могут быть классифицированы несколькими способами. Согласно одной из классификаций, действительные числа подразделяются на рациональные числа, т. е. те, что могут быть выражены дробью, числитель и знаменатель которой являются целыми числами (например, 1 / 2 или — 7 / 3); и на иррациональные числа, т. е. те, которые не могут быть выражены подобным образом. Древние греки полагали, что все числа рациональны, до тех пор, пока один из последователей Пифагора не доказал, что √2 не является рациональным числом. Является ли число рациональным или иррациональным можно определить по его записи в виде десятичной дроби: если начиная с некоторого места после запятой повторяется последовательность цифр, т. е. находится в периоде, то число рационально (например, 3 /1 ,). Десятичные дроби, выражающие иррациональные числа (например, p53,) непериодичны. Однако это еще не все. Как рациональные, так и многие иррациональные числа имеют нечто общее — это алгебраические величины, т. е. они могут быть корнями полиномиальных, или многочленных уравнений с целыми коэффициентами. Например, √2 — корень уравнения x2 (см. Полиномиальные уравнения, c. 80). 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Действительные числа — это числа, которые используются для выражения величин и могут быть представлены десятичными дробями. Они могут являться как рациональными, так и иррациональными. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

18 g Числа и вычисления Математика за 30 секунд Для некоторых математиков положительных и отрицательных чисел было недостаточно — им были необходимы еще и мнимые числа. МНИМЫЕ ЧИСЛА АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ НИККОЛО ФОНТАНА (ТАРТАЛЬЯ) (–) ДЖИРОЛАМО КАРДАНО (–) РАФАЭЛЬ БОМБЕЛЛИ (–) КАРЛ-ФРИДРИХ ГАУСС (–) ОГЮСТЕН ЛУИ КОШИ (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫЕ И ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ (c. 14) ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (c. 80) ГИПОТЕЗА РИМАНА (c. ) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Комплексные числа позволяют найти решение таких уравнений, как, например, x3x Однако остается вопрос, существует ли в принципе решение подобных уравнений, либо есть необходимость дальнейшего расширения системы счисления. Как выясняется, система комплексных чисел включает в себя решения всех возможных полиномиальных уравнений; иными словам — это все, что нам может когда-либо понадобиться. Этот примечательный факт известен как основная теорема алгебры. За всю историю развития математики ученым несколько раз удавалось усовершенствовать систему счисления. Ранние периоды были связаны с введением отрицательных чисел. Так, в сфере бизнеса 14 означает повышение прибыли на 4 единицы, тогда как 24 означает погружение в долги на 4 единицы. Арифметика отрицательных чисел обладает удивительным свойством. Умножение положительного числа на отрицательное всегда дает отрицательный результат; например, Но если вы умножите отрицательное число на отрицательное, в итоге вы получите положительное число; например, Таким образом, не существует числа, положительного или отрицательного, которое, умноженное само на себя, давало бы отрицательный результат. Это означает, что некоторые простые уравнения (например, x2 ) не имеют решения, что является препятствием на пути к решению гораздо более сложных уравнений (если эти решения существуют). Эта проблема была исправлена при помощи «мнимого» числа i, определяемого как √21, то есть i3i Использование этого числа поначалу являлось своего рода хитростью, призванной помочь в расчетах, и представлялось весьма противоречивым: Декарт считал слово «мнимый» уничижительным. Однако некоторое время спустя, мнимое число вошло в арсенал математиков наряду со всеми прочими. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Современные математики работают с расширенной системой счисления, которая включает в себя новое «мнимое» число i, равное √

Математика за 30 секунд 20 g Числа и вычисления Наиболее распространенная сегодня система счисления — десятичная; вавилоняне смотрели на вещи шире, используя шестидесятеричную систему, а сегодня компьютерный код упрощен до двоичной системы счисления. 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Индейцы майя, жившие в Центральной Америке, также пользовались двадцатеричной системой счисления для «долгого счета» своего календаря. Однако вместо обычного для этой системы счета они ввели такой: — возможно, для того, чтобы выразить приблизительное количество дней в году. Если нам более близка десятичная система, поскольку мы имеем 10 пальцев на руке и легко используем их для счета, возникает вопрос: пользовались ли в таком случае майя преимуществом своей открытой обуви, используя для счета еще и пальцы на ногах? 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Основа системы счисления зависит от количества цифр, которые в ней используются. АВТОР ТЕКСТА Ричард Браун 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ГОТФРИД ЛЕЙБНИЦ (– ) ДЖОРДЖ БУЛЬ (–) СВЯЗАННАЯ ТЕОРИЯ НУЛЬ (c. 36) СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Чтобы обозначать числа больше девяти, принято ставить 1 в следующем разряде и повторять счет заново, начиная с 0, в предыдущем разряде. Это правило десятичной системы счисления, или системы счисления с десятичным основанием. Но система с десятичным основанием не всегда была предпочтительной. В древнем Вавилоне использовали для счета систему с шестидесятеричным основанием. Вместо того, чтобы остановиться на 9 и перейти к следующему разряду, они делали остановку на Остатки этой системы сохраняются и в наше время; например, 60 минут в часе, о в окружности. Отголоски существования двенадцатеричной системы счисления отражены в понятии «дюжина» и «гросс» (12 дюжин). Двадцатеричная система была распространена в Европе (в знаменитом Геттисбергском послании Авраама Линкольна «Восемь десятков и семь лет» счетной основой как раз является двадцатеричная система счисления). В современных компьютерах используется двоичная система счисления, где фигурируют только 0 и 1. В любой из систем легко производятся действия сложения и умножения; таким образом, можно совершать и алгебраические действия. В следующий раз, когда вас кто-нибудь спросит, сколько будет , скажите: «10» (ведь в бинарной арифметике так оно и есть)!

Математика за 30 секунд 22 g Числа и вычисления На протяжении столетий числа, способные делиться лишь на единицу и самих себя, занимали воображение математиков. Открытие больших простых чисел обрело огромное практическое значение в наши дни. АВТОР ТЕКСТА Дэвид Перри 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ЕВКЛИД (примерно г. до н. э.) КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС (–) ЖАК АДАМАР (–) ШАРЛЬ ЖАН ДЕ ЛА ВАЛЛЕ ПУССЕН (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ (c. 30) НАЧАЛА ЕВКЛИДА (c. 94) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ При рассмотрении операции разложения на простые множители кажется очевидным, что, в конце концов, мы пользуемся одним и тем же набором простых чисел. Однако, чем больше знаний приобретается о числе, тем менее очевидным оказывается это утверждение. Это важнейшее явление носит название основной теоремы арифметики. Несмотря на то, что не было выведено ни одной формулы, позволяющей генерировать все возможные простые числа, теорема простых чисел способна дать идею о том, какова составляющая простых чисел от чисел вообще. Большинствоцелыхчиселможно разделить на части. Например, Также является верным равенство Если мы возьмем любое из этих двух равенств и поделим его множители на еще более мелкие части, то в конечном счете мы придем к разложению на простые множители: Мы не можем разделить получившиеся множители дальше, поскольку они являются простыми числами, которые делятся только на 1 и сами на себя. Когда математики начали составлять списки простых чисел, они пытались увидеть некую закономерность, однако не обнаружили ее. Тогда они подняли вопрос о том, конечен ли список простых чисел, или все же возможно и дальше пополнять его. Евклид в своих «Началах» приводит весьма тонкое доказательство в пользу существования бесконечного количества простых чисел. Например, 17 — большое число. Как мы можем узнать, что оно простое? Мы можем попытаться разделить его на все возможные меньшие числа и прийти к выводу, что 1 является единственным делителем данного числа, следовательно, оно простое. Однако такой способ займет много времени, и кроме того, существуют более удобные способы. Самые большие простые числа содержат более 10 цифр, и для доказательства, что они являются простыми, разработаны весьма хитрые методы. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Простое число — это положительное целое число, которое делится только на единицу и само на себя; больше ни на одно целое число простые числа не делятся. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

Математика за 30 секунд 24 g Числа и вычисления Числа Фибоначчи фигурируют в закономерностях строения генеалогического древа пчел. Каждый трутень имеет лишь одну маткуродителя, тогда как пчела женского пола имеет двоих родителей. АВТОР ТЕКСТА Джейми Поммерсхайм 3-СЕКУНДНАЯ БИОГРАФИЯ ЛЕОНАРДО ПИЗАНО (ФИБОНАЧЧИ) (–c. ) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ (c. 30) ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ (c. 98) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ В г. Леонардо Пизано, также известный, как Фибоначчи, в своей книге «Liber Abaci» (Книга Абака) сформулировал загадку о выведении кроликов. Он утверждал, что каждый месяц каждая пара взрослых кроликов производит на свет пару крольчат, которые за месяц становятся взрослыми. Если начать разводить кроликов в январе с одной пары, то к декабрю у вас будет целых пары! В последовательности Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, , , каждое число представляет собой сумму двух предыдущих чисел. В результате данная последовательность, играющая особую роль в теории чисел, обладает множеством любопытных свойств. Если добавлять числа в последовательность Фибоначчи до определенного момента, то сумма предшествующих ей чисел, кроме последнего, будет меньше ее самой на единицу. Например, сумма чисел последовательности меньше числа Фибоначчи 21 на единицу. Квадрат каждого из этих чисел в ряду Фибоначчи дает произведение двух других чисел последовательности: Пропорции , , , , , стремятся к «золотой» пропорции f ≈ 1, Если выразить эту пропорцию геометрически, то прямоугольники, длины сторон которых равны числам Фибоначчи, соотносятся между собой, образуя т. н. «золотую» спираль. Задолго до того, как люди проявили интерес к подобным математическим соотношениям, закономерности Фибоначчи были отражены в строении растений. Листья или почки, имеющие спиралеобразную структуру, — например, ананасы, подсолнухи или артишоки — геометрически проявляют соотношение между парами следующих друг за другом чисел Фибоначчи. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Простое правило — суммировать два предшествующих числа, чтобы получить последующее, — одна из самых распространенных последовательностей чисел. ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ

1 трутень 1 родитель 2 прародителя 3 прапрародителя 5 прапрапрародителей 8 прапрапрапрародителей трутень матка

26 g Числа и вычисления Математика за 30 секунд Треугольник Паскаля дает возможность для решения целого ряда алгебраических задач. АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (–) ИСААК НЬЮТОН (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ (c. 24) ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (c. 76) ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (c. 80) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Треугольник Паскаля содержит множество удивительных закономерностей. Первая диагональ представляет собой ряд единиц, а вторая — прямую последовательность чисел 1, 2, 3, 4 и т. д. При этом третья диагональ содержит т. н. треугольные числа: 1, 3, 6, 10, 15, . Например, если вам нужно сложить шарики в виде треугольника (как, скажем, складывается пирамида в бильярде), то в процессе будут фигурировать эти числа. Числа Фибоначчи также содержатся в рядах этого треугольника — они представляют собой сумму последовательности «малых диагоналей» — посмотрим, сможете ли вы их обнаружить! Имеется последовательность: (1 1), (1 2 1), (1 3 3 1), (1 4 6 4 1), Каким будет следующий член данной последовательности? Эта загадка является важнейшей задачей в алгебре, известной как «раскрытие скобок». Задача решается так: возьмите выражение (11x) и умножьте его само на себя. Это дает (11x)2 x11x2 . Троекратное умножение этого выражения на себя дает (11x)3 x13x2 11x3 . Четырехкратное: (11x)4 x16x2 14x3 11x4 . Трудности здесь вызывает не столько алгебра, сколько сами числа. Следующее выражение закономерно выглядит следующим образом: (1+x)5 ?x1?x2 1?x3 1?x4 11x5 . Какие же числа сюда подходят? Блез Паскаль нашел ответ с помощью своего знаменитого треугольника. На вершине треугольника находится единица. Ниже, во втором ряду, располагаются две единицы. Идея Паскаля заключалась в том, что треугольник может быть продолжен путем сложения каждой пары чисел каждого ряда, расположенного выше. Процесс составления данного треугольника прост: только сложение компонентов при полном отсутствии сложных алгебраических действий. Каждый ряд треугольника Паскаля дает ответ на задачу раскрытия скобок. Так, чтобы найти ответ для выражения (1+x)5 , нужно всего лишь прочесть числа в шестом ряду треугольника: 1, 5, 10, 10, 5, 1. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Треугольник Паскаля представляет собой инструмент для решения алгебраических задач. ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ

28 g Numbers & Counting 19 июня, Родился в Клермоне (в наши дни КлермонФерран) Переезжает в Париж со своей семьей Пишет «Опыт о конических сечениях»; семья переезжает в Руан – Конструирует «паскалину», механический калькулятор Знакомится с Декартом и публикует «Новые опыты, касающиеся пустоты» Принимает янсенизм Возвращается к научной работе Публикует «Трактат о равновесии жидкостей», в которой излагает выведенный им закон о давлении Ведет переписку с Ферма Напечатано пособие, где объясняются свойства «треугольника Паскаля»; знакомится с Антуаном Арно, ведущим философомянсенистом – «Письма к провинциалу» в защиту янсенизма Пишет «Исследование циклоиды» Начинает работу над «Мыслями», собранием философских и теологических записок 19 августа Умер в Париже Посмертно опубликован труд «Мысли» Опубликован «Опыт о конических сечениях»

что не существует такой вещи, как вакуум, что в конце концов привело к написанию Паскалем книги о гидростатике. Также отдельное время он уделил разработке идеи о «треугольнике Паскаля» (см. страницы 26–27) и принципов теории относительности в своей переписке с Пьером де Ферма. За это стоит поблагодарить шевалье де Мере, заядлого картежника: он спросил Паскаля, как бы он разделил ставку, если бы два игрока с одинаковыми возможностями решили покинуть стол посреди игры. В отец Паскаля заболел; заботу о нем взяли на себя братья-янсенисты из монастыря Порт-Рояль. Паскаль и его сестра были глубоко впечатлены этим и сами приняли янсенизм. В конце своей жизни Паскаль проводил большую часть времени за попытками согласовать веру и разум; его попытки лучше всего представлены т. н. «Пари Паскаля», изложенном в труде «Мысли», собрании философских размышлений, не завершенном при жизни ученого. Пари касалось существования Бога и тому,стоить ли человеку ставить на это утверждение. Паскаль делает выводы в пользу веры в Его существование, рассуждая так, что если Он существует, то вам уже уготовано место на небесах, а если не существует, то вы ничего не теряете. Жизнь Паскаля была коротка, но необычайно плодотворна, хотя на протяжении долгих лет сопровождалась нескончаемой болью (Паскаль страдал от постоянных мигреней, бессонницы и болезни желудка). Однако несмотря на это он сделался выдающимся математиком, физиком, философом и теологом, работая (и скандаля) с величайшими умами своего времени. С 6 лет Паскаль остался без матери и обучался дома; отец запрещал ему изучать математику, и Блез занимался ее освоением втайне. Когда мальчику исполнилось 12, отец его наконец сменил гнев на милость, и молодой Паскаль с еще большим усердием посвящал себя математике; в это время он разработал суммирующую машину, чтобы помочь отцу, который работал сборщиком налогов, в расчетах. «Паскалина» не являлась первым механическим калькулятором, и хотя Паскаль сделал 50 штук, их продажа не принесла больших доходов. Тем не менее, дизайн и принцип работы «Паскалины» произвели величайшее впечатление на Готфрида Лейбница. Будучи уже взрослым, Паскаль постоянно участвовал в словесных перепалках с философом Декартом по поводу теории существования (или отсутствия) вакуума. Декарт ошибочно полагал, БЛЕЗ ПАСКАЛЬ Блез Паскаль g 29

30 g Числа и вычисления Математика за 30 секунд Фигурные числа — одно из направлений исследования в теории чисел; это числа, которые могут быть представлены ввидегеометрических фигур. АВТОР ТЕКСТА Дэвид Перри 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ПИФАГОР (– до н. э.) ЕВКЛИД (приблизительно до н. э.) ПЬЕР ДЕ ФЕРМА (–) К. Ф. ГАУСС (–) Г. Х. ХАРДИ (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ПРОСТЫЕ ЧИСЛА (c. 22) КОЛЬЦА И ПОЛЯ (c. 88) «НАЧАЛА» ЕВКЛИДА (c. 94) ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА (c. ) Теория чисел — это исследование интересных свойств, которыми обладают числа. Например, выберите любое простое нечетное число и разделите его на 4. Остаток составит либо 1, либо 3. Если остаток равен 1, то можно найти два квадрата чисел, которые в сумме дают данное простое число. Например, 73 / с остатком 1. Соответственно, находим: . С другой стороны, остаток 3 означает, что как бы тщательно вы ни искали, невозможно найти два квадрата чисел, дающих в сумме данное простое число (например, 7 или 59). Возникает вопрос: почему так? Математиков никогда не устраивало одно лишь открытие подобных любопытных свойств — им всегда нужно было найти доказательство тому, что эти свойства закономерны. Древнегреческие математики начали исследовать свойства делимости чисел, что в конечном итоге привело к изучению свойств простых чисел. Они также увлекались исследованиями фигурных чисел и их взаимоотношений. Например, имеется определенное количество камней, из которых можно образовать равносторонний треугольник, или квадрат, или пятиугольник, и т. п. Такое число камней называется фигурным. Евклид даже вывел формулу, согласно которой два любых квадрата в сумме образуют третий квадрат. На основании исследований подобных уравнений Пьер де Ферма сформулировал знаменитую великую теорему Ферма. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Теория чисел — это дисциплина, посвященная изучению свойств и отношений различных типов чисел. 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Карл Фридрих Гаусс утверждал, что математика является царицей наук, а теория чисел — королевой математики. 70 лет спустя Г. Х. Харди повторил подобное утверждение, описав математику как область, которая подлежит исследованию с целью обнаружения удивительных и прекрасных истин, область, незапятнанную никакими практическими приложениями. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

> Любое число в квадрате есть сумма двух треугольных чисел: например, 52 — это результат сложения 10 и > Сложение последовательных нечетных чисел, начиная с 1, в результате дает квадрат: 82


Алгебраическое выражение. Математическое выражение, в котором буквы или другие символы используются в качестве представления чисел. В алгебраических выражениях могут также использоваться арабские числа и любые знаки действия, например, 1 (сложение), 3 (умножение), √ (квадратный корень) и т. п. При этом неважно, насколько сложно алгебраическое выражение, оно всегда имеет только одно значение. Ассоциативность. Свойство операции, проводимой над числами; при котором выражение включает в себя несколько одинаковых операций, и не имеет значения, в каком порядке эти операции выполняются. Например, умножение — это ассоциативное действие, поскольку (a3b)3c5a3(b3c). Булева логика (булева алгебра). Направление алгебры, в котором логические утверждения представлены алгебраическими уравнениями, где «умножение» и «сложение» (и противоположные им операции) заменены на «и» и «или» (а также «нет»), а числа 0 и 1 заменяются словами «ложь» и «истина» соответственно. Булева алгебра играла и продолжает играть важную роль в развитии компьютерного программирования. 34 g Как работают числа Действительное число. Любое число, выражающее ту или иную величину, расположенное на числовой прямой, или в континууме. К действительным числам относятся рациональные числа (т. е. числа, которые могут быть выражены в пропорции или обыкновенной дробью) и иррациональные числа (т. е. числа, которые нельзя записать в виде обыкновенной дроби, например, √2), а также трансцендентные числа (например, p). Декартовы координаты. Числа, представляющие позицию точки на графике или карте с координатной сеткой. Координаты задаются значениями, определяющими расстояние точки на горизонтальной (x) и вертикальной (y) осях от начала координат, обычно это точка пересечения координатных прямых. Дифференциальное уравнение. Уравнение, включающее неизвестную функцию и некоторые ее производные. Дифференциальные уравнения являются первостепенными инструментами ученых для моделирования физических и механических процессов в физике и инженерии. Квантовая механика. Направление в физике, в котором при помощи математиКАК РАБОТАЮТ ЧИСЛА ГЛОССАРИЙ

Глоссарий g 35 ческих формул описываются свойства движения и взаимодействия субатомных частиц; в том числе, например, корпускулярно-волновой дуализм. Коммутативность. Свойство операции, проводимой над числами; при котором порядок членов может изменяться, а результат при этом остается прежний. Например, умножение — это коммутативное действие, поскольку Множитель. Величина, на которую умножается другое число, которое называется множимым. В выражении множителем является 9, а множимым — 3. Монадология. Метафизическая философская теория Готфрида Лейбница, изложенная в его книге «Монадология» (). Основана на понятии «монады»; это простейшие субстанции, которые Лейбниц называл «элементами вещей» и каждая из которых запрограммирована на определенную манеру поведения. Переменная. Величина, которая может изменять свое числовое значение. Переменные часто имеют буквенное обозначение (например, x или y), а также часто используются в математических выражениях и уравнениях: 3x56, где 3 — коэффициент, x — переменная, а 6 — постоянная величина. Степень. Количество раз, которое число, называемое основанием, умножается само на себя. В выражении 43 , называется степенью с основанием 4 и показателем 3. Функция. Значение зависимой переменной, полученное в результате совершения каких-либо действий над независимой переменной (аргументом). Функцию часто записывают в виде f (x). Например, f (x)5x2 — функция, в которой при каждом значении аргумента x результатом функции будет являться x2 , т. е. f (5), f (9), и т. д. Числовая прямая. Визуальное представление всех действительных чисел на горизонтальной шкале, при этом отрицательные числа располагаются слева от нуля, а положительные справа. Большинство числовых прямых содержат обозначения положительных и отрицательных чисел, расположенных через равные промежутки.

Математика за 30 секунд 36 g Как работают числа Много шума из ничего — нуль является числом, заслуживающим особого пристального рассмотрения. НУЛЬ АВТОР ТЕКСТА Роберт Фатхауэ 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ БРАХМАГУПТА (–) АБУ АБДУЛЛАХ МУХАММАД ИБН МУСА АЛЬ-ХОРЕЗМИ (–) ЛЕОНАРДО ФИБОНАЧЧИ (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (c. 20) БЕСКОНЕЧНОСТЬ (c. 38) СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ (c. 40) УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ (c. 42) СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ (c. 44) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ В булевой логике 0 означает «ложь», а в отношении электроприборов 0 — краткое обозначение отсутствия тока. В физике понятие абсолютного нуля означает минимальный предел температуры. Выражение «меньше нуля» употребляется для обозначения отрицательных чисел и величин. «Обнулить» прибор — это значит привести его к первоначальным настройкам. И наконец, «нулем» часто называют незначительного человека либо предмет, не имеющий особого значения, хотя само качество незначительности трудно применимо к самому нулю — важнейшему и многообразнейшему из всех действительных чисел! В древности некоторые народы — вавилоняне, греки (но только астрономы!), майя — в своих системах счисления использовали нуль в качестве простого заполнителя. Нуль также использовался и в Индии, откуда произошла вся современная система счисления. В году н. э. Брахмагупта написал свою первую книгу, в которой нуль рассматривается как полноценное число, а не заполнитель; здесь же излагаются арифметические правила обращения с нулем и отрицательными числами. В году н. э. Аль-Хорезми принес индийскую систему счисления в исламский мир. В году Фибоначчи ввел ее в обиход в своей «Книге Абака», распространив знание о нуле и использовании его в Европе. Нуль является единственным числом, которое не положительно и не отрицательно; любое число, не являющееся нулем, называется «ненулевым». Нуль можно прибавить к другому числу: aa, где a — любое действительное число, а прибавление нуля оставляет его неизменным. Другие правила: a, и 0 /a 50, при aÞ0. Существует мнение, что деление числа на нуль равно бесконечности. Однако данное выражение не имеет точно определимого смысла, поэтому математики называют результат деления на нуль неопределенным. Поскольку 0 делится на 2, он является четным числом. Некоторые математики предпочитают начинать счет с 0, а не с 1. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Нуль, символом которого является 0, представляет собой отсутствие величины. К синонимам слова «нуль» относятся «ноль» и «нулевой элемент».

3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Все хорошее в конце концов заканчивается — но только не в математике! 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Базз Лайтер, известный герой серии мультфильмов «История игрушек» студии Pixar, гордо заявлял: «В бесконечность и далее!». Однако как бы близко мы ни подобрались к черте бесконечности, мы никогда ее не достигнем, как отважные моряки не достигнут горизонта. Даже число всех субатомных частиц во Вселенной, составляющее ни много ни мало (гугол), не намного ближе к бесконечности, чем 1. А чтобы попасть за пределы бесконечности, нужно сначала достигнуть ее. Если бы это кому-то удалось, даже Зенон был бы впечатлен. СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА (c. 16) ИСЧИСЛЕНИЕ (c. 50) КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА (c. ) 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ЗЕНОН ЭЛЕЙСКИЙ (– до н. э.) ГЕОРГ КАНТОР (–) АВТОР ТЕКСТА Ричард Браун Математика за 30 секунд Всем известно, что множество натуральных чисел бесконечно, то есть их количество неограниченно. Стоит только допустить, что какое-либо число является наибольшим, как тут же находится еще большее число. Правда и то, что между 0 и 1 находится бесконечное количество чисел, однако и здесь не все так просто. Древнегреческий стоик Зенон подверг исследованию это понятие с помощью ряда парадоксов. В самом известном из них утверждалось, что любое движение невозможно, поскольку при передвижении из пункта А в пункт Б необходимо пройти бесконечное количество промежуточных пунктов, и на прохождение каждого тратится количество времени, выражаемое положительным числом. А поскольку положительные числа в конечном счете составляют бесконечность, то в ограниченное время нельзя никуда попасть. Сегодня мы знаем, где Зенон допустил ошибку (сумма положительных чисел может быть конечной!), однако данный парадокс послужил основой для множества исследований. Определяя значение изменяющейся во времени величины используют бесконечную последовательность постоянно уменьшающихся положительных отрезков времени (т. н. бесконечно малых), так, можно в конечном итоге определить значение велечины в определенный момент времени. 38 g Как работают числа Будет ли конец для всего, что нас окружает? Если верить математикам, то нет. БЕСКОНЕЧНОСТЬ

40 g Как работают числа Математика за 30 секунд Основа всего — сложение и вычитание — были частью жизненного уклада людей с древнейших времен. АВТОР ТЕКСТА Роберт Фатхауэр 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ АРИАБХАТА (–) БРАХМАГУПТА (–/) ЛЕОНАРДО ФИБОНАЧЧИ (–) ИОГАНН ВИДМАН (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫЕ И ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ (c. 14) СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (c. 20) НУЛЬ (c. 36) УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ (c. 42) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Бесконечное множество чисел можно сложить или вычесть бессчетное количество раз. Последовательность, которая имеет конечный предел называется сходящейся. Простой пример такой последовательности: 1 / 2 11 / 4 11 / 8 11 / 1 6 1… Более наглядно его можно представить так: сначала вы проходите половину комнаты, затем половину оставшегося расстояния до стены (т. е. 1 / 4 всего расстояния), потом половину этого расстояния (1 / 8 ), и т. д. Удивительные результаты дают некоторые бесконечные последовательности. Например, / 3 11 / 5 21 /7 11 / 9 21 / 11 1 1 / 1 3 21 / 1 5 p / 4 . 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Сложение — это комбинирование двух или более чисел. Вычитание — нахождение разницы между двумя числами. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ Древние народы — египтяне, вавилоняне — пользовались действиями сложения и вычитания еще в х годах до нашей эры. Индийская десятичная система счисления, наиболее пригодная для арифметических операций, пришла в Европу благодаря «Книге Абака» Фибоначчи. Ариабхата и Брахмагупта существенно дополнили индийскую математику в 6–7 веках н. э., а символы 1 и 2 впервые появились в печатном труде Иоганна Видмана в году. При сложении числа, которые складываются между собой, называются слагаемыми, а результат — суммой. Когда сумма чисел больше 9, производится прием, называемый переносом. Сложение коммутативно, т. е. a1b5b1a; а также ассоциативно: (a1b)1c5a1(b1c). В результате прибавления нуля к числу получается то же самое число, что подтверждает способность нуля к сложению: a10=a. Вычитание — это действие, противоположное сложению. В вычитании первое число называется уменьшаемым, а второе — вычитаемым; например, в выражении a2b, a — уменьшаемое, a b — вычитаемое. В отличие от сложения, вычитание не является коммутативным либо ассоциативным действием. Так же, как прием переноса используется при сложении чисел, в вычитании столь же необходимым приемом является заем.

Математика за 30 секунд 42 g Как работают числа При умножении берут какое-то число и складывают его с самим собой определенное количество раз. При делении, напротив, число разделяется на определенное количество равных долей. АВТОР ТЕКСТА Роберт Фатхауэр 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ АРИАБХАТА (–) БРАХМАГУПТА (–/) ЛЕОНАРДО ФИБОНАЧЧИ (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫЕ И ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ (c. 14) ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ (c. 30) СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ (c. 40) СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ (c. 44) УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ При использовании алгоритмов, действия умножения и деления могут выполняться путем сложения и вычитания соответственно. Это возможно благодаря тому, что умножение или деление чисел, возведенных в степень и имеющих одно основание, осуществляется путем сложения или вычитания показателей степени. До изобретения калькулятора для подобных вычислений широко использовались логарифмические линейки, размеченные соответствующими шкалами. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Умножение — это повторное сложение первого числа с самим собой определенное количество раз. Деление — это операция, выясняющая, сколько раз одно число укладывается в другое. Умножение и деление вызывали жгучий интерес еще со времен древних систем счисления, которые еще не были позиционными: египетская, греческая и римская. Арифметическая и цифровая системы, в конечном итоге вошедшие в употребление в Европе, получили свое развитие в Индии, наиболее важные открытия при этом были сделаны в VI—VII вв. При умножении a3b5c, a называется множителем, b — множимым, а c — произведением; a и b также называют сомножителями. Письменное обозначение умножения включает следующие варианты: a3b, a•b, (a)(b), а также просто ab, наиболее употребляемый математиками. Так же, как и при сложении, перенос появляется тогда, когда произведение чисел больше 9. В выражении aa, 1 называют мультипликативной единицей. Умножение коммутативно, т. е. a3b5b3a, а также ассоциативно, т. е. (a3b) 3c5a3(b3c). Деление в свою очередь не обладает ни одним из этих свойств. В выражении a4b5c, a — это делимое, b — делитель, a c — частное. Математики предпочитают записывать операцию деления как a/b, а не a4b. Т. н. деление столбиком — это алгоритм деления, представляющий делимое, делитель и частное в виде таблицы. Математики утверждают, что при делении любого числа на 0, результат будет неопределенным, поскольку, строго говоря, деление на 0 не имеет никакого смысла.

Математика за 30 секунд 44 g Как работают числа Тогда как логарифмический рост приводит к резкому уменьшению числа, рост степени приводит к его взрывному увеличению. СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ АВТОР ТЕКСТА Дэвид Перри 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ДЖОН НЕПЕР (–) ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА (c. 16) УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ (c. 42) ФУНКЦИИ (c. 46) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ В XVI веке математик Джон Непер первым использовал термин «логарифм» для обозначения действия, обратного возведению в степень, и составил таблицу значений для расчета логарифмов. Возможно, вы замечали на калькуляторах кнопку log10(x) (логарифм по основанию 10), а также ln(x) — обозначение «натурального логарифма». Основание этого логарифма — число между 2 и 3, обозначаемое e, особое число, как и p, часто встречающееся в физических, биологических и экономических формулах. Если каждую неделю я буду класть £1 в мою свинку-копилку и вести учет моих накоплений, то в итоге я буду отслеживать некую сумму, которая возрастает линейно (т. е. равномерно). Если еженедельно я буду класть £1 на счет в банке под проценты, то сумма будет возрастать в геометрической прогрессии. Иной банк может позволить мне накопить % от моего вклада, т. е. вместо £1 в конце года я получу £2. Если я не стану класть дополнительных средств на счет, а буду только дожидаться накопления процентов, то каждый год сумма будет возрастать вдвое, и после трех лет у меня будет £8, потому что Через 4 года сумма на счете составит £16, и т. д. В выражении 23 58, постоянный множитель 2 называется основанием; показатель 3 — число раз, которое мы умножаем основание 2 само на себя. Естественно, возникает вопрос, как обратить эту операцию. Что, если мне известна конечная сумма, но хочется узнать, за сколько лет она накопится? Действием, противоположным возведению в степень, является логарифм: log2 В общем, функция log2 говорит о том, в какую степень возвести 2, чтобы получить x. В примере с банком, где сумма на моем счете удваивается каждый год, данная функция говорит мне, сколько лет займет накопление процентов на сумму. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Возведение в степень — это краткая запись многократного умножения какого-либо числа. Логарифм относится к возведению в степень так же, как деление к умножению

y Экспонента (возведение в степень) y52x Линейный рост y5x Логарифм y5log2 (x) x

46 g Как работают числа Математика за 30 секунд АВТОР ТЕКСТА Роберт Фатхауэр 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ НИКОЛА ОРЕСМ (–) РЕНЕ ДЕКАРТ (–) ГОТФРИД ЛЕЙБНИЦ (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ (c. 44) УРАВНЕНИЯ (c. 78) ТРИГОНОМЕТРИЯ (c. ) ГРАФИКИ (c. ) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Понятие функции широко употребляется в физике и инженерии, где сама функция и ее аргументы обычно связаны с физическими качествами, которые можно измерить: температура, объем, сила гравитации. Функции также употребляются в экономике и бизнесе, где переменными могут обозначаться спрос, время, интерес, прибыль и т. д. Естественно, что исследование функциональных взаимоотношений между двумя или более факторами является главным в понимании математических основ устройства природы и бизнеса. И людей тоже, кроме всего прочего. Разве нет? 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Математическая функция — определяющее зависимость элемента области определения от элемента области значения. ФУНКЦИИ Сведения о первых примерах функций приходятся на раннее время развития науки, однако современная концепция математической функции появилась намного позже. В первоначальном понимании, функция представляет собой отношение, в котором одна величина (аргумент) полностью определяет значение другой величины (значение). Формула f (x) используется для обозначения функции переменной x. Например, f (x)5x2 — функция, для которой значением функции является 9 (32 ) определена значением аргумента 3. Термин «функция» был введен Лейбницем в конце XVII века. Множество аргументов называется областью определения, а множество значений функции — областью значения. Графики функции с одной переменной (или аргументом) часто строятся на координатной плоскости, где x — абсцисса (горизонтальная ось), а f (x) — ордината (вертикальная ось). Например, для f (x)52x13 график функции будет представлять собой линию, построенную на пересечении заданных точек (x;y), удовлетворяющих уравнению. Так, сюда входят (1;5), поскольку , и (2;7), т.к. Функции с двумя переменными могут быть построены по принципу f (x,y) на вертикальной оси и x—y на горизонтальной. Если подставить любое значение x в уравнение x3 25x2 x11, результат может быть выражен графиком — визуальным представлением функции.

f (x)x3 25x2 x11 f(x) x (1, 26) > Этот график показывает значение функции f(x) в диапазоне от –2 до Например, при x51, результат будет –6. Соответственно, кривая проходит через точку с координатами (1,–6).

1 июля Родился в Лейпциге Защитил степень бакалавра философии в Лейпцигском университете Получил степень магистра философии Получил степень бакалавра юриспруденции Избран членом Королевского общества и личным советником герцога Бруншвейгского Опубликовал «Рассуждение о метафизике» (Discourse on Metaphysics) Опубликована «Теодицея» (Theodicee) Обвинен в плагиате — Пишет «Монадологию» (Monadology) 14 ноября Умер в Ганновере Ноябрь Совершил научный прорыв в анализе бесконечно малых Назначен членом Тайного совета по Праву в Брауншвейгском поместье Опубликовал свои заметки по математике

Готфрид Лейбнийц g 49 жил и работал в Лейпциге, Париже, Лондоне, Вене и Ганновере, встречаясь и переписываясь с ведущими учеными и философами своего времени. Возможно, наиболее известной его философской теорией является монадология (монады — это мельчайшие, не видимые глазу частицы философской мысли). Однако весь блеск его интеллектуальной силы омрачало то, что из-за нелепой путаницы он не был признан после смерти, несмотря на связи с королевскими особами и ведущими учеными, а его могила простояла заброшенной 50 лет. Противоречие между Лейбницем и Ньютоном возникло в году и не прекращалось никогда. Лейбниц знал Ньютона, также являлся членом Королевского общества и находился в Лондоне как раз в то время, когда Ньютон разрабатывал теорию дифференциального исчисления. Когда Лейбниц вынес на общий суд свою версию, большинство математиков встало на сторону Ньютона, а сам Лейбниц был осмеян. Присвоил ли он чужую идею, представив ее как свою, или оба они пришли к одним выводам, работая независимо друг от друга, — возможно, мы никогда не узнаем правду. Однако сегодня оба они сполна вознаграждены за свое изобретение. Готфрид Лейбниц жил на рубеже XVII и XVIII веков. Работы его в основном написаны в виде кратких трактатов, записок, статей в научных журналах и писем. Он, по сути, являлся первопроходцем в науке своего времени, что немало угнетало его. Его уникальность как ученого отражена в том, как он использовал свои интеллектуальные способности. Многие из идей Лейбница стали предтечей современных взглядов и теорий в физике, технологии, биологии, медицине, геологии, психологии, лингвистике, политике, праве, теологии, истории, философии и математике. Он усовершенствовал счетную машину Паскаля, разработал бинарную теорию, явившуюся фундаментом современных цифровых технологий; основал то, что сегодня известно как булева алгебра и символическая логика, а также определил принципы обратной связи, вдохновившие Норберта Винера. Классический вундеркинд, сын профессора университета, Лейбниц в возрасте 12 лет уже бегло говорил по-латыни, а первую свою степень получил в Обладатель научных степеней в математике, философии и праве, он в конце концов оставил академию и провел большую часть своей жизни, работая под патронажем Брауншвейгского дома. Лейбниц ГОТФРИД ЛЕЙБНИЦ

Математика за 30 секунд 50 g Как работают числа В отношении двигающегося мяча теорема исчисления может дать нам данные о его скорости и ускорении. Применительнокгорке, нам представляется система касательных и определяется крутизна ее поверхности. АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ АРХИМЕД (– до н. э.) ИСААК НЬЮТОН (–) ГОТФРИД ЛЕЙБНИЦ (–) ОГЮСТЕН ЛУИ КОШИ (–) КАРЛ ВЕЙЕРШТРАСС (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ УРАВНЕНИЯ (c. 78) ГРАФИКИ (c. ) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Открытие исчисления Ньютоном и Лейбницем является одним из важнейших моментов в истории математики. Эта теория легла в основу множества математических и физических исследований — от экономики и моделирования изменений климата до квантовой механики и теории относительности. В математике на основе теории исчисления решаются дифференциальные уравнения. Многие направления науки изучают предметы, которые двигаются и меняются со временем. Например, когда мяч катится с горки, его положение меняется. Положение меняется в зависимости от скорости движения мяча, и скорость также может изменяться. Степень изменения скорости называется ускорением. Вопрос в следующем: если вы располагаете математической формулой применительно к положению мяча, можете ли вы вычислить его скорость и ускорение? Геометрически можно начать с изображения на плоскости кривой линии и определения ее крутизны на каждом заданном участке. Если график кривой выражает отношение положения мяча ко времени, то ее крутизна представляет скорость его передвижения. Это было ясно еще со времен Архимеда, но для вычисления крутизны кривой изначально применялись лишь приблизительные методы. В конце XVII века Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц независимо друг от друга разработали теорию исчисления, великолепную систему законов для описания крутизны графиков и отношения величин. В исчислении выделяют две ветви. На графике кривой дифференциальное исчисление определит ее крутизну, а интегральное исчисление даст представление об области, зависимой от нее. Забавно, что это взаимно противоположные процессы, вместе известные как основная теорема исчисления. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Исчисление объясняет, как системы и прочие математические структуры изменяются во времени и пространстве. ИСЧИСЛЕНИЕ


54 g Случайность — вещь хорошая Априорная вероятность. В статистике вероятность события, которая устанавливается до того, как появляются дополнительные данные или исследуются новые факторы, чтобы рассчитать новые вероятности. Априорная вероятность играет главную роль в теореме вероятности Байеса. Верный результат научного исследования. Точный положительный результат, данный, например, при установлении медицинского диагноза. Верные утверждения отличаются от ошибочных тем, что верный результат — результат правильный, справедливый, тогда как ошибочный результат возникает вследствие неточности или оплошности в ходе научного исследования. (См. ошибочный результат научного исследования). Вероятность. Вероятность — это способ выражения возможности того, что определенное событие произойдет, принимая во внимание все факторы «за» и «против». Это отношение числа желаемых последствий к числу возможных последствий, часто представляемых как некое число между «0» (нулевая вероятность) и «1» (несомненность). Например, мы достаем любую карту из полной колоды. Вероятность достать масть червей составляет 13/52 , или 1/4. Так, вероятность того, что мы достанем червы, будет 0, Гауссова кривая. В теории вероятности, график, имеющий форму колокола и выражающий стандартное нормальное распределение. Вершина кривой находится посредине графика, ветви которого плавно расходятся по обе стороны от нее, имеют одинаковую форму, резко падая вниз и плавно закругляясь на концах. Двоичная последовательность. В информатике длинная последовательность нулей («0») и единиц («1»), означающих отсутствие и наличие сигнала соответственно. Двоичные последовательности являются необходимым условием для управления компьютером. Ошибочный результат научного исследования. Ошибка, которая совершается, например, при установлении медицинСЛУЧАЙНОСТЬ — ВЕЩЬ ХОРОШАЯ ГЛОССАРИЙ

Глоссарий g 55 ского диагноза. Ошибочные утверждения такого рода возникают вследствие неточности процедуры исследования, вытекающей в положительное решение тогда, когда результат должен быть отрицательным. По причине возникновения таких ошибок во многих исследовательских средах становится невозможным с точностью установить вероятность того, будет ли данное явление положительным до тех пор, пока не появится достаточное количество данных, чтобы рассчитать априорную вероятность. (См. априорная вероятность, верный результат научного исследования). Равновесие. В теории игр равновесие представляет собой определенный момент в игре, когда игроки используют стратегии, не оставляющие преимущества ни одному из них. Центральная предельная теорема. В теории вероятности центральная предельная теорема утверждает, что если случайные переменные величины (например, при игре в кости) выбираются достаточное количество раз подряд, то их распределение приближается к нормальному, а график результатов будет представлять собой гауссову кривую. Частота. Число раз, когда происходит определенное событие в заданный период времени или за определенное количество экспериментов. Чем больше количество возникновений события за период, тем выше частота повторений. Шансы. Шанс означает определенную возможность того, что что-либо произойдет или не произойдет. Если вероятность возникновения события обозначить как p, а вероятность того, что событие не возникнет, как 12р, то шансы в пользу события будут выражены как p/(12p), а против события (12p)/p. Например, вероятность выбросить 4 на стандартном игральном кубике составляет 1/6. Вероятность того, что 4 не попадется, составляет 5/6. Т. е. шансы выбросить 4 на кубике будет (1/6)/(5/6), или 1/5. Выражаясь обычным языком, можно сказать, что шансы выбросить 4 составляют , а шансы не выбросить 4 составляют Как говорят, есть «пять способов проиграть и один способ выиграть».

Математика за 30 секунд 56 g Случайность — вещь хорошая «Камень, ножницы, бумага» — а у вас есть стратегия для этой игры? У математиков есть. АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ДЖОН ФОН НЕЙМАН (–) КЛОД ШЕННОН (–) ДЖОН НЭШ (р. ) ДЖОН КОНУЭЙ (р. ) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ (c. 62) ОШИБКА ИГРОКА: ЗАКОН СРЕДНИХ ЧИСЕЛ (c. 64) ОШИБКА ИГРОКА: УДВОЕНИЕ СТАВКИ (c. 66) ТЕОРЕМА БАЙЕСА (c. 70) ТЕОРИЯ ИГР 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Стратегии, используемые в играх, могут быть проанализированы математически и находят свое проявление во многих научных дисциплинах. 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Теория игр давно ушла вперед от практики изучения самих игр в их любых проявлениях, начиная с политической науки и заканчивая искусственным интеллектом. Но в некотором смысле, игры все еще остаются областью загадок. В году канадский профессор Джонатан Шеффер со своими коллегами разработал стратегию игры в шашки, которая позволяла выигрывать всегда и везде. Однако пока компьютеры побеждают людей в шахматной игре, такая идеальная стратегия остается недостижимой мечтой. Тысячелетиями люди увлекались стратегическими играми, от «крестики-нолики» до шашек и шахмат. Одни игры проще, другие сложнее. Играя, например, в «крестики-нолики», можно довольно легко и быстро разработать хорошую стратегию. Немного практики, и вы уже не проиграете. Теория игр — это направление в математике, изучающее такие стратегии. Взять, например, игру вроде «камень, ножницы, бумага». Какова наилучшая стратегия, чтобы выиграть? Если вы решите играть «ножницы» чаще, чем «бумага» и «камень», тогда ваш противник может использовать это против вас и чаще играть «камень». Поэтому можно присмотреться к поведению противника, однако наиболее выигрышной стратегией будет выбор предмета наугад каждый раз. Если вы играете таким образом, вы можете как выиграть, так и проиграть. Этот эффект называется «равновесием» игры: когда оба игрока используют такую стратегию, ни один из них не может создать перевес на свою сторону. Основой теории игр является известный факт, доказанный Джоном фон Нейманом и получившего развитие в трудах Джона Нэша: большинство всех существующих игр обязательно содержит эффект равновесия.

3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Степень возможности события может быть измерена при помощи шкалы шансов, говоря языком букмекеров, или математической вероятности. 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Букмекеры предоставляют хорошие шансы (и деньги) выиграть там, где это практически нереально. Малая вероятность события означает то, что событие это вряд ли произойдет: стоит поостеречься ставить на лошадь, шансы которой на выигрыш 1 к 40,— никто не верит, что она дойдет до финиша первой. С другой стороны, при значительных шансах, вроде 2 к 3, можно поставить на победу (вероятность 3 / 5 ). Сумма проигрыша будет невелика, в противном случае вы удачно «сыграете на шансах». СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ (c. 62) ОШИБКА ИГРОКА: ЗАКОН СРЕДНИХ ЧИСЕЛ (c. 64) СЛУЧАЙНОСТЬ (c. 68) ТЕОРЕМА БАЙЕСА (c. 70) 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ПЬЕР ФЕРМА (–) БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (–) ХРИСТИАН ГЮЙГЕНС (–) АНДРЕЙ КОЛМОГОРОВ (–) АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес Математика за 30 секунд Когда вы бросаете игральный кубик, то шансы выбросить 6 будут 5 против 1. Это значит, что всего имеется 6 одинаково возможных вариантов результата броска, из которых пять неудачные, а один удачный. Математик выразил бы это отношение с помощью дроби: вероятность выбросить 6 составляет 1 /6, т. е. один удачный вариант из 6 имеющихся. Точно так же шансы вытянуть из колоды пикового туза равны 51 против 1, или 1 / 52 . Поскольку все варианты одинаково возможны, свои шансы на выигрыш можно вычислить, взвесив соотношение удачных и неудачных результатов. Наука вероятности просчитывает события при помощи чисел, чтобы продемонстрировать возможность того, произойдет ли данные событие или нет. Результаты таких вычислений всегда находятся в интервале между 0 и 1, при этом 0 означает абсолютную невозможность события, а 1 — его несомненность. Невозможные события имеют крайне низкую вероятность: если вы десять раз подбросите монету, шансы выбросить «орла» десять раз подряд составляют 1 / (т. е. против 1). С другой стороны, возможные события имеют высокую вероятность (т. е. хорошие шансы): если вы берете наугад карту из колоды, шансы, что вы не вытащите пикового туза, составляют 51 / 52 (или 1 к 51). Можно и рискнуть, не так ли? 58 g Случайность — вещь хорошая Если вы подбросили игральную кость, вероятность выбросить нечетное число составляет 3 /6, то есть шансы у вас «пятьдесят на пятьдесят». КАК ПРОСЧИТАТЬ ШАНСЫ

Написал «Artis magnae, sive de regulis algebraicis», также известную, как «Ars magna» Составил и опубликовал гороскоп Иисуса Христа Изобрел Решётку Кардано (Cardan grille), криптографический инструмент Обвинен в ереси Написал «Opus novum de proportionibus» о механике 21 сентября Умер в Риме Посмертно опубликована его автобиография «De vita propria» 24 сентября Родился в Павии, Италия Поступил в Павийский университет Получил степень доктора медицины в Павийском университете; подал заявление в Миланскую корпорацию врачей, однако получал отказы вплоть до г. Написал трактат «Об игральной кости» (Liber de ludo aleae), опубликованный после его смерти в г. Написал трактат «О медицине» (De malo recentiorum medicorum usu libellus) Написал трактат «О математике» (Practica arithmetice et mensurandi singularis)

Джироламо Кардано g 61 ДЖИРОЛАМО КАРДАНО Доктор, математик, геолог, естествоиспытатель, астроном и изобретатель, Кардано был самим воплощением человека эпохи Возрождения (за единственным исключением: что он не был близок к искусству), мрачным отражением Леонардо да Винчи, друга его семьи, с которым он иногда работал вместе (и, как говорили недоброжелатели, откровенно заимствовал его идеи). Оба были внебрачными детьми, оба происходили из семей юристов и оба обладали исключительными талантами. Впоследствии Леонардо пошел навстречу славе и успеху, а излишне критичный, отталкивающий характер Кардано перечеркивал все его таланты, и несмотря на то, что его высоко ценили за интеллект, он всегда держался особняком везде, где бы ни находился. Он начал карьеру с постижения медицинских таинств. Кардано был великолепным врачом; он учился у величайших эскулапов своего времени. Однако он не скрывал своего презрения к коллегам. Не обладая врачебным тактом (или тактом вообще), он не встретил поддержки, ведя врачебную практику в Сакко, — хотя впоследствии его сравнивали с самим Весалием, — и начал карьеру преподавателя в Павийском университете, своей alma mater. Тогда же он увлекся математикой, которую до этого изучал со своим отцом, и создал и опубликовал две книги. Одна из них, «Ars magna» (), является ключевым трудом эпохи Возрождения, поскольку представляет собой глубокий разбор решений уравнений третьей и четвертой степени. Однако и здесь он не избежал проблем. Дело в том, что Кардано заимствовал решение уравнений третьей степени у Никколо Тартальи, который взял с Кардано слово, что тот не станет публиковаться в течение шести лет. Однако, обнаружив, что Тарталья оказался весьма скуп на правдивые факты, Кардано отказался от своего обещания и, углубив исследования, опубликовал их в своем труде, чем вызвал проклятия и ненависть со стороны Тартальи и прочих своих врагов. Гром грянул в году, когда возобновивший врачебную практику Кардано находился на вершине успеха. Его старший сын за измену убил свою жену, и его казнили по приговору суда. Его смерть подкосила Кардано и разрушила его карьеру. Отказавшись от звания профессора, он уехал в Рим, где его очень скоро посадили в тюрьму по обвинению в ереси: он составил и опубликовал гороскоп Иисуса Христа. Кардано умер 21 сентября года, прожив долгую, плодотворную, но полную хаоса жизнь. Говорят, что он предсказал свою смерть с точностью до часа. А также говорят, что в указанное им самим время он покончил с собой, чтобы не быть обвиненным во вранье.

Математика за 30 секунд 62 g Случайность — вещь хорошая Каковы шансы, что за определенный период времени вы забросите мяч в кольцо три раза из десяти? Так вот, в длительной перспективе они все те же. АВТОР ТЕКСТА Джон Хай 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ЯКОБ БЕРНУЛЛИ (–) ИРЕНЕ ЖЮЛЬ БЬЕНЭМЕ (–) ПАФНУТИЙ ЧЕБЫШЕВ (–) ЭМИЛЬ БОРЕЛЬ (–) СВЯЗАННАЯ ТЕОРИЯ ОШИБКА ИГРОКА: ЗАКОН СРЕДНИХ ЧИСЕЛ (c. 64) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Первый значительный шаг в демонстрации отношения между вероятностью и частотой возникновения события был сделан Якобом Бернулли в г. Впоследствии он был подкреплен работами Ирене Жюля Бьенэме, Пафнутия Чебышева и Эмиля Бореля, которые фундаментально обосновали уверенность в том, что ваши измерения в конечном счете будут настолько достоверны, насколько вы сами того захотите. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Проведя большое количество испытаний, мы можем определить частоту появления события, близкую к вероятности его возникновения. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Проведите любой эксперимент со случайным исходом, который можно повторять столько раз, сколько захочется, — например, забросьте мяч в баскетбольное кольцо или подбросьте монетку. Вероятность выбросить десять «орлов» подряд очень мала, но все же она существует. Если же мы будем подбрасывать монетку всю жизнь, то невероятные события вроде этого время от времени будут случаться. Но в долгой перспективе частота таких событий будет напрямую зависеть от степени их вероятности. В этом заключается закон больших чисел: он формулирует принцип, что за долгий период времени вероятность события обусловливает частоту его возникновения. Закон больших чисел относится не только к случайным событиям. Допустим, вы хотите знать, каков средний рост женщин, проживающих в Великобритании. При данном исследовании, чем большее количество людей вы будете наблюдать, тем точнее будет средний результат среди исследуемых, представляющий средний результат по всей стране. Для более высокой точности исследования, вам нужно большее количество исследуемого материала, потому что те данные, которые вы измеряете, обладают большой вариативностью. Однако этот закон также дает нам понять, что, обладая достаточным объемом данных, мы всегда можем получить результат с высокой степенью достоверности.

Математика за 30 секунд 64 g Случайность — вещь хорошая Каждый раз, когда вы подбрасываете монетку, шансы получить «орла» или «решку» остаются равными — даже если до этого вы выбросили несколько «орлов» или «решек» подряд. АВТОР ТЕКСТА Джон Хай СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ (c. 62) ОШИБКА ИГРОКА: УДВОЕНИЕ СТАВКИ (c. 66) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Монетка, кости и колесо рулетки могут выдать результаты, которые абсолютно равнозначны по вероятности. При этом есть маловероятные тенденции: десять «орлов» подряд, выпадение «семерки» на рулетке 12 раз кряду, ни одного числа более «30» за 20 вращений колеса и т. п. Существует так много «редких» случаев, что некоторые из них просто должны произойти («редкие случаи часто встречаются!»). Но они не могут повлиять на последующие результаты или наши собственные прогнозы на будущее. Если на подброшенной вами монетке десять раз из десяти выпадает «орел», то можно подумать, что, скорее всего, в следующий раз выпадет «решка». Как говорят, «по закону средних чисел, “орел” и “решка” одинаково вероятны, следовательно, вполне возможно, что в следующий раз выпадет “орел”». Нонсенс: если монета имеет правильную форму, то не имеет значения, какой стороной она падала в предыдущих случаях, каждый следующий раз шансы, что выпадет «орел» или «решка» остаются 50 на То же самое прослеживается в отношении рулетки или лотереи: если до этого за вращений рулетки ни разу не выпало «зеро», это никак не увеличило шансов, что «зеро» выпадет в следующий раз. В Италии число 53 не попадалось в лотерее на протяжении двух лет. Монета, колесо рулетки или шары в лотерее — объекты неодушевленные, они не обладают способностью запоминать, что выпадало в предыдущие разы, и увеличивать частоту выпадения сторон или чисел впоследствии. Частота установится вследствие различных возможностей и только с течением времени — и зачастую эти отрезки времени весьма и весьма значительны! Поэтому любая формулировка «закона средних чисел», по сути, перефразирует закон больших чисел и не может быть использована для утверждения, что прошлые результаты могут повлиять на результаты будущего. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Использование данных о прошлых результатах для определение будущих является проигрышной стратегией. ОШИБКА ИГРОКА: ЗАКОН СРЕДНИХ ЧИСЕЛ 3-СЕКУНДНАЯ БИОГРАФИЯ ДЖИРОЛАМО КАРДАНО (–)

Математика за 30 секунд 66 g Случайность — вещь хорошая Никогда не удваивайте ставки в игре — это дорога к проигрышу. АВТОР ТЕКСТА Джон Хай СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ (c. 62) ОШИБКА ИГРОКА: ЗАКОН СРЕДНИХ ЧИСЕЛ (c. 64) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Американская рулетка имеет дополнительный сектор — «дубль-зеро» (double-zero), но шансы на его выпадение все равно остаются те же. В любом случае, прибыль казино с каждой ставки хоть и мала, но вполне реальна. Игроки не имеют возможности сочетать разные ставки за один или несколько кругов с целью не дать казино получить свой профит. Если колесо рулетки совсем новое, любой сектор может выпасть когда угодно, а максимальная ставка установлена, игрок с течением определенного времени обречен на проигрыш. Европейская рулетка имеет 37 секторов: 18 красных, 18 черных и один зеленый («зеро»). Ставки на красное и черное имеют равные шансы на успех. Игрок принимает решение все время ставить на красное, а после проигрыша удваивать ставку. Поскольку на каждом круге шансы, что выпадет красное, не равны нулю, идея такова, что ставка рано или поздно сыграет. Например, красное выпадает с четвертого раза. Игрок за это время теряет 1, 2 и 4 ставки (всего 7), затем следует выигрыш в 8 ставок, и чистая прибыль составляет 1 ставку. Этот выигрыш постоянно увеличивается, неважно, как скоро снова выпадет красный сектор. Игрок утверждает, что он неизбежно возьмет свою прибыль в 1 ставку, когда бы ни сыграло красное. Однако, к несчастью игрока, это неверно. Каждое казино устанавливает максимальную ставку, обычно их количество начинается со Так, после семи проигрышей в размере 1, 2, 4, 8, 16, 32, 54 (всего ) правила казино ограничивают размер общей ставки количеством , даже если игрок имеет необходимую сумму, чтобы играть дальше. Игрок может использовать эту систему и несколько раз выиграть сумму в 1 ставку, однако неизбежно и то, что в какой-то момент размер ставки дойдет до установленной границы. И тогда проигранной суммы будет более чем достаточно, чтобы разрушить все, чего он добился. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ При игре в рулетку удвоение ставки после каждого проигрыша — проигрышная стратегия. ОШИБКА ИГРОКА: УДВОЕНИЕ СТАВКИ 3-СЕКУНДНАЯ БИОГРАФИЯ ДЖИРОЛАМО КАРДАНО (–)

Математика за 30 секунд 68 g Случайность — вещь хорошая Какая из последовательностей случайна? Даже математики не знают ответа. АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ЭМИЛЬ БОРЕЛЬ (–) АНДРЕЙ КОЛМОГОРОВ (–) РЭЙ СОЛОМОНОФФ (–) ГРЕГОРИ ХАЙТИН (р. ) ЛЕОНИД ЛЕВИН (р. ) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ (c. 62 ) ТЕОРЕМА БАЙЕСА (c. 70) АЛГОРИТМЫ (c. 84) ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ О НЕПОЛНОТЕ (c. ) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Интернет работает на двоичных последовательностях: длинных строках из нулей (0) и единиц (1), которые компьютер может перевести в любые программы и файлы, которыми мы пользуемся. Для максимальной эффективности эти строки должны быть максимально сжаты при помощи специальных программ. Когда строка сжата (т. е. из нее удалены все предсказуемые или повторяющиеся комбинации), она становится неотличимой от последовательности, целиком построенной по принципу случайности. Представьте себе две долгие последовательности «орлов» (О) и «решек» (Р), каждая из которых начинается ООРОРО Одна совершенно случайна — результат простого подкидывания беспристрастной монетки. Другая не случайна: все варианты тщательно подобраны человеком. Вопрос: как отличить одну от другой? Простой тест подтверждает, что с течением долгого времени в случайной последовательности «орел» и «решка» будут фигурировать приблизительно одинаковое количество раз и с одинаковой частотой. Вдобавок, каждая пара результатов (ОО, ОР, РО и РР) в среднем также будет встречаться одинаково часто. То же самое и в отношении тройных, четверных или еще более длинных сочетании результатов. Однако все эти сочетания человек может подобрать вручную. Простейшее сочетание выглядит как ОООООО При этом очевидно, что оно не случайно. Но, кроме того, оно легко может быть сжато. Фраза «миллион “орлов”» описывает эту последовательность весьма кратко, и при коммуникации может быть с точностью воссоздана в памяти. Настоящие случайные последовательности не могут быть сжаты в принципе. Единственный путь передать истинно случайную последовательность — это полностью записать ее. Это свойство было изучено сравнительно недавно: случайность и несжимаемость суть одно и то же. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Вывести случайность математически крайне сложно. СЛУЧАЙНОСТЬ

Математика за 30 секунд 70 g Случайность — вещь хорошая Шансы на то, что событие произойдет, — это отношение числа верных положительных результатов (9) к числу ошибочных положительных утверждений (99). ТЕОРЕМА БАЙЕСА АВТОР ТЕКСТА Джейми Поммерсхайм 3-СЕКУНДНАЯ БИОГРАФИЯ ТОМАС БАЙЕС (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ КАК ПРОСЧИТАТЬ ШАНСЫ (c. 58) ОШИБКА ИГРОКА: ЗАКОН СРЕДНИХ ЧИСЕЛ (c. 64) СЛУЧАЙНОСТЬ (c. 68) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Теорема Байеса названа в честь преподобного Томаса Байеса, пресвитерианского священника, жившего в XVIII веке в Англии. Теорема Байеса поднимает философские вопросы в отношении самой природы вероятности. В частности, появление в его теореме понятия априорной вероятности предполагает, что нельзя с уверенностью утверждать о какой-либо вероятности события, предварительно не изучив общую частотность возникновения этого события в прошлом. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Теорема Байеса позволяет определить вероятность события, но только тогда, когда есть данные об априорной вероятности этого события. Предположим, что диагноз какой-либо болезни верен на 90 %. При этом диагноз этой же болезни у человека по имени, например, Боб является положительным. Какова вероятность того, что Боб в самом деле болен? Оказывается, что однозначного ответа мы дать не можем! Нам необходима дополнительная информация о болезни; например, как часто она встречается. Таким образом, мы нуждаемся в данных об априорной вероятности, что некий Боб страдает от этой болезни. Давайте предположим, что данную болезнь имеет 1 % населения. Теорема Байеса отвечает на вопрос, как определить вероятность, что при положительном диагнозе человек действительно болен. В группе из человек больны в среднем 10, и 9 из них имеют положительный диагноз (так называемый «верный положительный результат»). Остальные не имеют этой болезни, но 10 % из них, или 99 человек, все еще будут иметь положительный диагноз («ошибочный положительный результат»). Ошибочные результаты превосходят верные результаты в отношении 99 к 9. Иными словами, шансы того, что Боб действительно болен, составляют в пользу того, что он не болеет. Маловероятные события остаются маловероятными даже вопреки сведениям, полученным в результате тщательных исследований.


74 g Алгебра и абстракция Алгебраическая геометрия. Раздел математики, объединяющий геометрию с алгеброй; посвящен изучению геометрических форм, созданных на основе графических решений полиномиальных алгебраических уравнений. Ассоциативность. Свойство операции, проводимой над числами; при котором выражение включает в себя несколько одинаковых операций, и не имеет значения, в каком порядке эти операции выполняются. Например, умножение — это ассоциативное действие, поскольку (a3b)3c5a3(b3c). Действительные числа. К ним относят любое число, которым можно отразить величину чего-либо на бесконечной числовой оси. Действительные числа включают в себя все рациональные числа (т. е. числа, которые можно выразить как соотношение других чисел или часть целого, включая положительные и отрицательные целые и дробные числа), иррациональные числа (числа, которые нельзя записать как простую дробь; например, √2), а также трансцендентные числа (p). Дифференциальное уравнение. Уравнение, которое связывает неизвестную функцию и некоторые ее производные. Дифференциальные уравнения основные инструменты для моделирования физических и механических процессов в физике и инженерии. Обратная операция. Так называют операцию, противоположную некой другой операции. К примеру, обратная операция для сложения — вычитание, и наоборот; обратная операция для умножения — деление, и наоборот. Коммутативность. Свойство операции, проводимой над числами; при котором порядок членов может изменяться, а результат при этом остается прежний. Например, умножение — это коммутативное действие, поскольку Константа. Число, буква или символ, имеющее некое фиксированное значение. Например, в выражении 3x, число 3 — коэффициент, x — переменная, а 8 и 4 — константы. Коэффициент. Число, используемое как множитель при переменной величине. Так, в выражении 4x58, 4 — коэффициент, x — переменная. Коэффициенты могут быть представлены в виде чисел или условных обозначений (например, буквенных). Коэффициенты, не относящиеся к каким-либо переменным, называются константами, или свободными членами. Многочлен пятой степени. Полиномиальное уравнение, в котором переменные имеют максимальную степень, равную 5. АЛГЕБРА И АБСТРАКЦИЯ ГЛОССАРИЙ

Глоссарий g 75 Многочлены (полиномы). Это математические выражения состоящие из чисел и переменных, где допускается использование только операций сложения, умножения и возведения в степень, причем показатель степени должнен быть выражен целым положительным числом, например, x2 . (См. также полиномиальные уравнения, c. ) Нейтральный элемент. Элемент множества, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении к ним бинарной операции. Например, в множестве положительных целых чисел при операции сложения нейтральный элемент равен 0. В том же множестве при умножении нейтральный элемент равен 1. Операция. Любой формальный набор правил, позволяющий изменять значение исходных величин (например, сложение, умножение, вычитание, деление). Переменная. Величина, способная изменять свое значение. Переменные чаще всего имеют буквенное обозначение, например, x или y. Используется в выражениях и уравнениях. В выражении 3x56, 3 — коэффициент, x — переменная, а 6 — константа. Пересечение множеств. В теории множеств множество, состоящее только из элементов, общих для двух или нескольких множеств. Например, в пересечение множеств А и В войдут только те элементы, которые присутствуют и во множестве A, и во множестве B. Показатель степени. Число, определяющее количество умножений числа само на себя. В выражении 43 , 3 — показатель, а 4 — основание. Свойство. Характеристика или отличительная черта какого-либо объекта. Свойства не обязательно имеют физическую природу; например, общее свойство чисел 2, 4, 6, 8 — чётность. Теорема о неполноте. Теорема, сформулированная Куртом Гёделем. В основе теоремы лежит утверждение о незаконченности любой системы математических правил, включая правила арифметики. Имеется в виду, что для доказательства или опровержения математического утверждения нельзя использовать только правила самой системы. Целое число. Любое недробное число, например, 1, 2, 3, 4, 5 и так далее, а так же 20 и отрицательные недробные числа. Член уравнения В математических выражениях так называют число или переменную, или набор чисел и переменных, разделенных знаками плюс или минус.

Математика за 30 секунд 76 g Алгебра и абстракция В алгебре x обозначает место, где находится неизвестное число. АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ДИОФАНТ (–) АБУ АБДУЛЛАХ МУХАММАД ИБН МУСА АЛЬ-ХОРЕЗМИ (–) АБУ КАМИЛ ШУЧЖА (–) ОМАР ХАЙЯМ (–) БАСКАРА (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ УРАВНЕНИЯ (c. 78) ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (c. 80) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Алгебра, как математическая наука, позволяет вывести основные законы взаимодействия чисел. Например, возьмем два числа: 4 и 5, затем умножим каждое из них на третье число — 3. Соответственно, мы получим 12 и Далее, сложим полученные результаты: Полученный результат идентичен тому, как если бы мы сложили два начальных числа (), а затем умножили результат сложения на третье число (). Это справедливо в отношении любых трех чисел. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ В алгебре символами, например, x и y, обозначают неизвестное число или переменную величину, которая может изменять свое значение. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Ученые всегда имеют дело с числами, но зачастую они хотели бы работать с ними, не прибегая к установлению их конкретных значений. Допустим, мы говорим, что в какой-либо комнате находится в два раза больше женщин, чем мужчин. Можно записать это соотношение, не зная точного количества людей и применяя символы переменных; например, x. Если обозначить неопределенное число мужчин через x, то число женщин будет x удвоенное (обычно записывают как 2x). Если принять, что x57, то, подставив это значение в выражение, мы узнаем количество женщин: 2x Такой абстрактный алгебраический подход используется в любой науке. Если машина движется с постоянной скоростью s, и проезжает расстояние d, за время t, то между этими величинами существуют точные взаимоотношения, не зависящие от их конкретных значений. А именно: скорость равна расстоянию, разделенному на время, то есть s5d ⁄t. Это общий закон, однако если подставить в данное выражение численные данные, то можно произвести вычисления для конкретных случаев. Если мы определим два любых значения для переменных этой формулы (например, d, а t55), то, используя формулу целиком, сможем вычислить третье значение (s / 2 55).

78 g Алгебра и абстракция Математика за 30 секунд Поскольку вещи способны обладать свойством быть равными друг другу, наука вся состоит из уравнений, начиная с азов арифметики вплоть до теории относительности. УРАВНЕНИЯ АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ЕВКЛИД (– до н. э.) ДИОФАНТ (–) АБУ АБДУЛЛАХ МУХАММАД ИБН МУСА АЛЬ-ХОРЕЗМИ (–) АБУ БЕКР ИБН МУХАММАД ИБН АЛЬ-ХУСЕЙН АЛЬКАРАДЖИ (–) АЛЬБЕРТ ЭЙНШТЕЙН (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ИСЧИСЛЕНИЕ (c. 50) ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (c. 76) ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (c. 80) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Уравнения не просто демонстрируют, что числа равны друг другу. Они также имеют отношение к гораздо более сложным вещам. Так, «дифференциальные уравнения» утверждают идентичность двух различных геометрических величин. «Уравнение поля» Эйнштейна в общей теории относительности связывает характеристику движения материи в определенной области пространства с искривлением самого пространства. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Всякий раз, когда две величины считаются равными, мы имеем дело с уравнением. Знак «5» является важнейшим символом в математике. Он устанавливает равенство двух величин по обе стороны от него. Уравнением является любое утверждение, в котором используется знак равенства. Конечно, простые уравнения, вроде , не представляют большого интереса. Однако более сложные уравнения несут большее количество информации. Один известный пример: E5Mc2 . Это физическое уравнение означает, что энергия (E), содержащаяся внутри объекта, равна его массе (M), умноженной на скорость света (c), возведенную в квадрат. Многие фундаментальные физические законы сформулированы в виде уравнений. Обычный тип уравнений включает в себя неизвестное число. Если x — неизвестное число, как в выражении 2x, то есть «удвоенное x плюс один равно девять», то данное уравнение содержит достаточно информации, чтобы точно установить значение x. Существует только одно возможное значение x, если это равенство верно. В любом уравнении действует основное правило: «Всегда одинаково изменяйте обе части уравнения, чтобы сохранить его истинность». Так что, если вам нужно вычесть единицу из одной части уравнения, вы должны произвести ту же операцию и в другой его части. Возьмем уравнение 2x Если разделить одну его часть на 2, то мы делим на 2 и вторую часть: x Это и есть наше «решение» изначального уравнения.

Математика за 30 секунд 80 g Алгебра и абстракция С помощью полиномиальных уравнений создаются прекрасные трехмерные формы. АВТОР ТЕКСТА Джейми Поммерсхайм 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ НИККОЛО ТАРТАЛЬЯ (/–) ДЖИРОЛАМО КАРДАНО (–) НИЛЬС АБЕЛЬ (–) ЭВАРИСТ ГАЛУА (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА (c. 16) ФУНКЦИИ (c. 46) ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (c. 76) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Древние греки решали квадратичные уравнения с использованием пересекающихся прямых и окружностей, построенных при помощи циркуля и линейки. Геометрия форм, представленная в виде полиномиальных уравнений, включающих более одной переменной (алгебраическая геометрия) — центральная область математических исследований. Например, параболоид, представленный в виде уравнения с тремя переменными: z=x2+y2, имеет геометрическую форму, которая является наиболее подходящей для спутниковых тарелок. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Полиномиальные уравнения допускают использование чисел и переменных, связанных между собой операциями сложения, умножения и возведения в степень, причем показатель степени должен быть целым положительным числом. Школьникиучатсярешатьуравнения вида 3x2 15x Это выражение является примером полиномиального уравнения, которое по определению состоит из суммы членов (например, 3x2 ), где переменная (x) возведена в степень выраженную целым положительным числом (2). Приведенное уравнение называют уравнением второго порядка, или квадратичным уравнением, так как наивысший показатель степени (т. е. количество раз, на которое основание умножено само на себя) равен 2. Сложные операции с использованием дробных показателей степеней, тригонометрических и показательных функций, не используются в полиномиальных уравнениях, отчего они и рассматриваются в качестве основы для всех уравнений. Методы решения квадратичных уравнений (нахождение подходящих значений переменных) были независимо открыты в разных странах древнего мира. Результатом этих усилий стало создание формулы квадратичного уравнения, которая позволяла легко найти точное решение. Исчерпывающая методика решения кубических уравнений (уравнений третьей степени, где высшее значение показателя степени равно 3) и биквадратных уравнений (уравнений четвертой степени) была найдена в XVI веке в Италии. Тогда математики вывели формулу, сходную с формулой квадратичных уравнений, однако еще более сложную.

> Гиперболоид, представленный полиномиальным уравнением x2 1 y2 2 z2 5 1 > Параболоид, представленный полиномиальным уравнением z 5 x2 1 y2 z 5 x2 1 y2 x2 1 y2 2 z2 5 1

Родился в Хорезме, современный Узбекистан Написал книгу «Об индийской системе счета» Написал «Краткую книгу восполнения и противопоставления» Составил карту мира Умер Середина XII века Роберт Честерский перевел его труд «Краткая книга восполнения и противопоставления» Аделард Батский перевел «Астрономические таблицы» аль-Хорезми XII век Аделард Батский перевел «Об индийской системе счета» Выходит в свет книга Бальдасара Бонкомпаньи «Algoritmi de numero Indorum» на труд аль-Хорезми «Индийское искусство счета»

Абу Абдуллах Мухаммад Ибн Муса аль-Хорезми g 83 ской нумерации, в том числе и нуля. Эти знания он почерпнул в трудах индийских ученых, что отражено в названии его книги «Об индийской системе счета» ( г.). Он ввел в пользование арабскую цифровую систему, понятие десятков и единиц, а также дроби и десятичную запятую. Однако более всего он известен как «отец алгебры» (хотя его труды и представляли собой синтез уже существовавших на тот момент знаний, а уже потом изложение собственных идей и методик). Вообще, слово «алгебра» происходит от арабского al-jabr («завершение», «восполнение»): это слово входит в название его известнейшего труда «Краткая книга восполнения и противопоставления», в которой было изложено первое систематическое решение линейных и квадратичных уравнений. Эта книга была написана по просьбе халифа, и ей надлежало стать практичным и доступным пособием, которое способствовало бы решению задач в торговле и коммерции. Когда в XII веке работы аль-Хорезми были переведены на латинский язык, перед математиками буквально открылся новый мир. В латинском переводе имя аль-Хорезми трансформировалось в Алгоритми, откуда и возникло слово «алгоритм». В наши дни в его честь назван кратер, находящийся на темной стороне Луны. Абу Абдуллах Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми был одним из величайших умов исламского мира. Его работы послужили основой для западной математической науки после того, как четыре столетия спустя после его смерти его труды были переведены на латынь. Мало что известно о его жизни; его семья была родом из Персии и переехала на юг, в Багдад (с середины XVII века — Арабский халифат). Там аль-Хорезми начинает учебу в «Доме Мудрости» халифа аль-Мамуна, который являлся библиотекой и академическим институтом в период расцвета исламского Золотого Века. Здесь аль-Хорезми изучает научные работы вавилонских и персидских ученых в переводе на греческий и санскрит. Он был упорен в изучении географии и картографии (он корректировал «Географию» Птолемея, а также известен тем, что убедил 70 географов составить карту мира специально для халифа); увлекался астрономией, но наиболее значительный и неоценимый вклад он внес в математику, особенно в области алгебры, арифметики и тригонометрии. Аль-Хорезми объединил техники, методы и идеи индийских и дальневосточных ученых, и также привнес в них свои собственные идеи и улучшения. Именно его мы должны благодарить за введение во всеобщее пользование индийАБУ АБДУЛЛАХ МУХАММАД ИБН МУСА АЛЬ-ХОРЕЗМИ

84 g Алгебра и абстракция Математика за 30 секунд Каждая компьютерная программа имеет свойзакодированный алгоритм, идея о котором возникла еще в IX веке. АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ АЛОНЗО ЧЕРЧ (–) СТИВЕН КЛИН (–) АЛАН ТЬЮРИНГ (– ) СТИВЕН КУК (р. ) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (c. 80) ПРОГРАММА ГИЛЬБЕРТА (c. ) ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ О НЕПОЛНОТЕ (c. ) АЛЬ-ХОРЕЗМИ (c. 82) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Самый главный вопрос в компьютерной науке — это скорость исполнения алгоритмов. Например, умножим два больших простых числа друг на друга. Из полученного результата очень трудно узнать, какие же числа мы перемножили. Существует алгоритм, позволяющий выполнить такую операцию, однако на ее выполнение потребуются миллионы лет, даже при использовании самых современных процессоров. Можно ли сократить это время? Никто не знает. Надеемся, что никто и никогда этого не узнает — иначе как мы тогда сможем уберечь свои накопления в онлайн-кошельках?! 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Алгоритмы были задуманы как теоретические операции для решения математических задач. В настоящее время они используются в компьютерах. АЛГОРИТМЫ Информационная революция ХХ века ознаменовала собой расцвет компьютерной науки. Но компьютеры — ничто без программного обеспечения, а программы — ничто без математических последовательностей, называемых алгоритмами. Алгоритм представляет собой несложный список инструкций, нацеленных на выполнение задачи, где каждый шаг однозначен и поэтому может выполняться неразумной программой. Слово «алгоритм» происходит от имени «аль-Хорезми», арабского ученого, который разработал порядок решения определенных уравнений, понятный каждому. Многие математики развивали аналогичные идеи веками, но только в году Алану Тьюрингу и Алонзо Черчу удалось создать точное определение алгоритма. Тьюринг придумал устройство, которое работало с использованием бумажной ленты. «Машина Тьюринга» двигалась вдоль ленты, рисовала и стирала на ней символы в строгом соответствии с правилами, заложенными в нее. Тьюринг использовал свое теоретическое изобретение для демонстрации того, что нельзя использовать один метод для поиска ответов на все вопросы математики. Даже в отношении простых чисел есть «невычислимые» задачи. Такая постановка проблемы перекликалась с «теоремой о неполноте» Гёделя и точно так же повергла в шок ученых от математики.

86 g Алгебра и абстракция Математика за 30 секунд Диаграммы Венна призваны обеспечить наглядность для понимания принципов взаимодействий между различными множествами. АВТОР ТЕКСТА Дэвид Перри 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ (–) НИЛЬС ХЕНРИК АБЕЛЬ (–) ЭВАРИСТ ГАЛУА (–) АРТУР КЕЙЛИ (–) ГЕОРГ КАНТОР (–) БЕНУА МАНДЕЛЬБРОТ (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ (c. 46) КОЛЬЦА И ПОЛЯ (c. 88) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Хоть мы и привыкли думать о числах как об объектах, все может быть еще интересней, когда в список наших объектов мы включаем разнородные элементы. В самом деле, известный из теории музыки квинтовый круг есть множество из 12 основных гамм. Этот круг может быть представлен в виде групповой структуры, называемой циклической группой. Сбор и упорядочивание объектов — ключевая функция математики. Совокупности объектов (множества) позволяют нам определить общие свойства тех предметов, которые мы изучаем. Создание совокупностей множеств (комбинирование всех содержащихся в них объектов в новое множество), или пересечение множеств (комбинирование объектов, являющихся общими для всех множеств), способствует более детальному изучению их свойств. Как и числа, мы можем объединять объекты во множество, чтобы добавить туда другие объекты. Группа — это множество, обладающее рядом специфических признаков. (1) Любые два элемента в множестве можно объединить между собой при помощи определенной операции (например, сложения), при этом комбинация таких двух элементов уже должна присутствовать в множестве. (2) В множестве присутствует особый объект, называемый нейтральным элементом. Его свойство состоит в том, что он не изменяет другой элемент при проведении над ними бинарной операции как, например, ноль при сложении не изменяет значение другого числа. (3) У каждого элемента группы есть противоположный ему элемент, называемый обратным. Комбинация любого элемента группы со своим обратным в результате дает нейтральный элемент. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Любой набор объектов можно назвать математическим множеством. Группа объединяет объекты внутри множества в новое множество. МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ


88 g Алгебра и абстракция Математика за 30 секунд Свойство распределяемости обясняет, каким образом взаимодействуют операций сложения и умножения. Множества, обладающие такими свойствами, и называют кольцами. АВТОР ТЕКСТА Дэвид Перри 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ЭВАРИСТ ГАЛУА (–) РИХАРД ДЕДЕКИНД (–) ЭММИ НЁТЕР (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ (c. 40) УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ (c. 42) ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (c. 80) МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ (c. 86) КВАДРАТУРА КРУГА (c. ) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Кольца и поля имели историческое значение для математиков, так как позволили перевести часть классических проблем на совершенно новый язык. Этот язык позволил получить долгожданные доказательства невозможности решения задачи о квадратуре круга, удвоении куба и трисекции угла с помощью только линейки и циркуля. Также математики точно смогли доказать отсутствие формул для решения полиномиальных уравнений пятой степени. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Множество целых чисел получило обозначение «кольцо». Множеству натуральных присвоено название «поле». КОЛЬЦА И ПОЛЯ Арифметические действия с целыми числами включают в себя две основные операции: сложение и умножение (и, как следствие, вычитание и деление). Из школьного курса мы знаем, что сумма не требует скобок, потому что мы можем начать суммировать с любого места; и даже переставив слагаемые между собой, мы все равно получим тот же ответ (потому что сложение ассоциативная и коммутативная операция). Мы начинаем понимать, как выполнять операции с числами, когда уже знаем распределительный закон: a3(b1c)5a3b1a3c. Большинство множеств обладают теми же полезными свойствами, что и целые числа. Мы не будем их перечислять, а просто дадим таким свойствам наименование: кольца. Множество натуральных чисел также будет являться кольцом, хотя и имеет дополнительные свойства, не распространяющиеся на множество целых чисел. У целых чисел есть такая особенность: если сложить или перемножить два целых числа или даже вычесть из одного второе, то результат тоже будет целым числом, а если разделить одно на другое, то результат необязательно будет целым. С другой стороны, мы можем разделить одно натуральное число на другое (конечно, за исключением нуля) и получим в результате также натуральное число. Эта отличительная особенность натуральных чисел позволила именовать их множество полем.


92 g Геометрия и формы Сrank (упрямец, оригинал). В математических кругах словом “crank” часто называют человека, который отказывается принимать доказанные математические теоремы как истинные. Аксиома. Утверждение, согласно которому самоочевидная или общепринятая истина принимается как данность без каких-либо доказательств. Гексагон (правильный шестиугольник). Многоугольник, имеющий шесть прямых сторон и шесть углов. Геометрия. Направление математики, изучающее в первую очередь формы, линии, точки, поверхности и тела. Гиперболическая геометрия. Разновидность неевклидовой геометрии, в которой постулат о параллелизме, представленный в евклидовой геометрии, заменен утверждением, что существует по меньшей мере две линии на плоскости, которые не пересекают третью линию. В гиперболической геометрии сумма углов треугольника меньше о . (См. евклидова геометрия). Гипотенуза. В прямоугольном треугольнике, сторона, противолежащая прямому углу. Гипотенуза обладает фундаментальным значением в теореме Пифагора. (См. теорема Пифагора). Диаметр. Прямая линия, проходящая сквозь центр круга или сферы от одной точки, лежащей на окружности, до другой. В более общем смысле, наибольшее расстояние между двумя точками одной фигуры. Додекаэдр (правильный двенадцатигранник). Термин чаще всего используется в отношении правильного многогранника с 12 гранями, каждая из которых представляет собой пятиугольник. Додекаэдр является одним из пяти платоновых тел. Ромбовидный додекаэдр рассматривается как пример неправильного додекаэдра. Евклидова геометрия. Направление в геометрии, изучающее линии, точки и углы тел и плоскостей. Названа в честь древнегреческого математика Евклида Александрийского. Евклидова геометрия представляет собой целую математическую систему правил и законов, основанных на пяти аксиомах, которые Евклид постулировал в своем труде «Начала». Икосаэдр (правильный двадцатигранник). Правильный многогранник, состоящий из ти граней, каждая из которых представляет собой равносторонний треугольник. Икосаэдр является одним из пяти платоновых тел. Коническое сечение. Изогнутая фигура, получаемая при пересечении плоскости и круглого конуса. ГЕОМЕТРИЯ И ФОРМЫ ГЛОССАРИЙ

Глоссарий g 93 Константа. Число, буква или символ, имеющее некое фиксированное значение. Например, в уравнении 3x, 3 — коэффициент, x — переменная, тогда как 8 и 4 являются константами. Однако обычно данный термин употребляется в отношении таких символов, как p или e. Лемма. Истинное математическое утверждение, которое используется для доказательства больших математических истин, например, теорем. Также рассматривается как трамплин для достижения более важных математических утверждений. Окружность. Непрерывная линия, обозначающая изогнутый контур фигуры; чаще всего понятие используется в отношении круга. Пентагон (пятиугольник). Многоугольник, имеющий пять прямых сторон и пять углов. Пентаграмма. Пятиконечная звезда, состоящая из пяти прямых линий. Полиэдр (многогранник). Любое тело с четырьмя или более гранями, составленное из многоугольников. В правильных многогранниках грани представляют собой правильные многоугольники. Радиус. Расстояние от центра круга до точки на его окружности. Радиус равен половине длины диаметра. Теорема. Математический факт или истина, которые были представлены как логическое следствие или выведены на основе математических фактов или аксиом, принятых ранее. Теория Галуа. Система, согласно которой алгебраические структуры (т. н. группы) могут быть использованы для решения алгебраических уравнений. Теория чисел. Направление в математике, изучающее в первую очередь свойства и взаимоотношения чисел, с особым вниманием к положительным целым числам. Трансцендентное число. Любое число, которое не может быть выражено как корень из ненулевого многочлена, содержащего целые коэффициенты (иными словами, неалгебраические числа). p — наиболее известное трансцендентное число, и, следуя определению, оно не удовлетворяет уравнению p2 Большая часть действительных чисел являются трансцендентными. Утверждение. Суждение, представляющее собой теорему или математическую задачу. Утверждение обычно сопровождается демонстрацией его истинности (доказательством).

Математика за 30 секунд 94 g Геометрия и формы Теорема Пифагора. Равные треугольники можно использовать для демонстрации того, что серый квадрат имеет область, идентичную области на желтом прямоугольнике, а область на красном квадрате такая же, что и на синем прямоугольнике. «НАЧАЛА» ЕВКЛИДА АВТОР ТЕКСТА Дэвид Перри 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ПИФАГОР (– до н. э.) ЕВКЛИД (приблизительно до н. э.) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ПРОСТЫЕ ЧИСЛА (c. 22) КВАДРАТУРА КРУГА (c. ) ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ (c. ) ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА (c. ) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Существует известный анекдот о философии Евклида. На уроке, после доказательства некоего утверждения, ученик спросил Евклида, какое практическое значение имеет данный материал. Евклид дал ученику монету и отправил восвояси, поскольку ученик был больше заинтересован в вознаграждении за знания, нежели в учении ради знаний. Когда Птолемей I попросил Евклида дать ему более простые объяснения, чтобы понять теорему, Евклид ответил: «К геометрии не бывает царских путей». Евклидбыдревнегреческимматематиком, жившим и обучавшимся в Александрии. Он почитаем не только за необычные теоремы, касающиеся свойств треугольников, кругов и простых чисел, но также за свойственную ему необычность математического мышления, проявляющуюся в разработке определений, способах выведения постулатов и продвижении логических следствий, основанных на этих базовых установках. Он разработал методику выведения математических умозаключений, на протяжении 22 веков вдохновлявшую ученых и преподавателей геометрической науки. Несмотря на то, что Евклид посвятил геометрии свой самый известный труд «Начала», состоявший из 13 книг (в книге 1 Евклид доказывает теорему Пифагора, а в й объясняет устройство пяти платоновых тел), он создал трехтомный экскурс в теорию чисел. В 7-й книге он объясняет, как найти наибольший общий делитель для двух чисел, особое внимание уделяя алгоритму, который сегодня носит его имя. В книге 9 он возвращается к теореме Пифагора и разрабатывает формулу, в которой к квадрату одного целого числа прибавляется квадрат другого целого числа; например, 32 , в результате чего вычисляются стороны прямоугольного треугольника. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ 13 томов «Начал», в которых Евклид представил ряд потрясающе прекрасных истин в области геометрии и теории чисел, оказали неизмеримо мощное влияние на цивилизованный мир.

Математика за 30 секунд 96 g Геометрия и формы Архимед первым начал рисовать некое количество полигонов внутри иснаружиокружности, и это позволило ему высчитать приблизительное значение константы p. АВТОР ТЕКСТА Ричард Браун 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ПИФАГОР (– до н. э.) АРХИМЕД (– до н. э.) ИСААК НЬЮТОН (–) УИЛЬЯМ ДЖОНС (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА (c. 16) ТРИГОНОМЕТРИЯ (c. ) КВАДРАТУРА КРУГА (c. ) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ В пифилологии, «пиема» — это поэма, разделенная на части так, что буквенная длина каждого слова совпадает со значением p. В свое время сэр Джеймс Джинс изобрел игру: «Как я хочу выпить спиртного после тяжелых лекций на тему квантовой механики». В оригинале эта фраза выглядит так: “How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics”. Догадались, какое отношение она имеет к числу p? 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ «Величина, которая, будучи умноженной на длину диаметра, определяет длину окружности». Вот что такое постоянное число p (пи). Иррациональное (трансцендентное) число p — наиболее известное и наиболее длинное из всех чисел, которые «легко увидеть, но трудно посчитать». p53,, и оно было известно всем древним цивилизациям благодаря прямой связи с кругом. Это отношение длины окружности круга к его диаметру. Эта константа названа по первой букве греческого слова «периметр» (ƂȹɄɐ•ȹɆɄɃɌ); иногда ее называют «константой Архимеда», который пытался ее вывести. Естественно, что благодаря изучению свойств многоугольников, вписанных или описанных окружностей Архимедом или китайским математиком Лю Хуэем, благодаря расчетам конечных сумм бесконечного числа делений, сделанных Лейбницем, благодаря поразительным по своим свойствам уравнениям, например, формулам индийского математика Рамануджана, константа p расширила границы математического знания. Данное число играет главную роль почти в каждой естественной или общественной науке. Являясь наиболее мистическим числом, p всегда вызывала жгучий интерес ученых к изучению ее свойств в плане подсчета количества знаков после запятой; со временем компьютерная наука позволила рассчитать ее приблизительное значение более точно. «ПИ» — КОНСТАНТА ОКРУЖНОСТИ

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Золотое сечение — отношение суммы длин двух неравных частей целого к его большей части, равное отношению его большей части к меньшей. 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Золотое сечение часто обнаруживает свое значение в эстетических свойствах произведений искусства, архитектуры и дизайна, начиная еще с древнеегипетских пирамид, храмов Древней Греции, а также полотен Леонардо да Винчи и даже современного iPod. Однако, несмотря на многочисленные примеры, когда художники и дизайнеры использовали в своих творениях принципы золотого сечения, многие подвергают сомнению значение «божественной пропорции» для искусства. СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА (c. 16) ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ (c. 24) ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА (c. ) 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ПИФАГОР (– до н. э.) ЛЕОНАРДО ФИБОНАЧЧИ (–) РОДЖЕР ПЕНРОУЗ (р. ) АВТОР ТЕКСТА Роберт Фатхауэр Математика за 30 секунд Если вы разделите линию на неравные отрезки a и b так, что их сумма, разделенная на длину большего отрезка, равна длине большего отрезка, разделенной на длину меньшего отрезка (т. е. (a1b)/a5a/b), то вы получите т. н. «золотое сечение». Оно также известно как «золотое отношение» или «божественная пропорция», обозначается греческой буквой фи (f) и является иррациональным числом, выявляющимся в результате уравнения: f5(11√5)/ Математики отмечают интересное свойство f: оно удовлетворяет выражениям f2 f и 1/f5f Также золотое сечение составляет длину диагонали правильного пятиугольника со сторонами длиной 1. Свойства пентаграммы — фигуры, составленной из диагоналей пятиугольника — представлялись мистическими Пифагору и его последователям. Художники и архитекторы используют золотое сечение при создании пропорций, приятных человеческому глазу. Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,) обладает таким свойством, что отношение двух последовательных чисел приближается к f по ходу того, как числа увеличиваются. Золотой прямоугольник, имеющий длины сторон, пропорциональные золотому сечению, может быть найден в додекаэдре и икосаэдре. 98 g Геометрия и формы Ряд квадратов со сторонами, соотносимыми по принципу золотого сечения, точно образуют по точкам спиралеобразную фигуру. Четвертьдуговые сегменты, вписанные в квадрат, образуют Золотую Спираль.

g Geometry & other shapes г. до н. э. Родился в Самосе г. до н. э. Переезжает в Кротон, южная Италия г. до н. э. Умер, возможно, в Метапонте – гг. н. э. Диоген Лаэртский, автор книги «Жизнь, учение и изречения мужей, прославившихся в философии» – гг. н. э. Порфирий, автор книги «Жизнь Пифагора» – гг. н. э. Ямвлих, автор книги «О жизни Пифагора»

Пифагор g тали за неукоснительно соблюдаемый аскетизм, а также признавали его авторитет настолько, что он неоднократно подвергался политическому преследованию. Сегодня нам известно об этом благодаря его преданным последователям, писавшим о Пифагоре в течение лет после его смерти (пифагорейское течение процветало вплоть до 5 века н. э.) Они переписывали историю и возвеличивали его достижения, утверждая, что учение Пифагора явилось источником идей Аристотеля и Платона. Множество трактатов, распространенных под его именем, являются подделкой. Однако, несмотря на то, что Пифагор придавал божественное и мистическое значение числам и их взаимодействию, маловероятно, что он когдалибо приводил доказательство своей теоремы. Сегодня мы знаем, что теорема Пифагора была известна еще вавилонским студентам в арифметической форме, и поэтому можно утверждать, что Пифагор всего лишь предъявил миру значительное и изящное математическое знание. Многие далекие от математики люди помнят по школьной скамье теорему Пифагора, главным образом благодаря которой он известен в современном мире. Сам же Пифагор был личностью гораздо более загадочной, и вокруг так называемого «вопроса о Пифагоре» с течением времени выросла целая научная индустрия, которая пытается отделить настоящую личность Пифагора и его достижения от мифологии и чрезмерной идеализации, связанных с его именем. Поскольку сам он, как и его современники, никогда ничего не записывал, мало что известно о его личности, тогда как ученики относились к нему с мистическим трепетом и почитали его полубожеством — этакий король Артур древнего мира. Таинственный и харизматичный персонаж, он, по слухам, имел золотое бедро, творил чудеса и обладал колдовской способностью находиться в двух местах одновременно. Пифагор верил в то, что душа бессмертна и проходит серию реинкарнаций; он был основоположником эзотерического религиозного культа. Его почиПИФАГОР

g Геометрия и формы Математика за 30 секунд Косинусная и синусная функции определяются при помощи x и y координат для точки, в которой прямая пересекающая ось x под углом U и проходящая через точку начала координат, пересекаетсясединичной окружностью. АВТОР ТЕКСТА Роберт Фатхауэр ТРИГОНОМЕТРИЯ 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ГИППАРХ (– до н. э.) ПТОЛЕМЕЙ (90– н. э.) ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ (c. 46) ИСЧИСЛЕНИЕ (c. 50) «ПИ» — КОНСТАНТА ОКРУЖНОСТИ (c. 96) ГРАФИКИ (c. ) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ В тригонометрии на плоскости, повсеместно преподаваемой в школах, сумма углов любого треугольника равна о . Сферическаятригонометрия используется в астрономии, она вызывала особый интерес у ученых древнего мира. На сфере сумма углов треугольника может быть больше о . В самом деле, в треугольнике, образуемом одной точкой на Полярной Звезде и двумя точками на экваторе, все три угла составляют о ! 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Тригонометрия — это направление, изучающее отношения между углами треугольника и длинами его сторон. Прямоугольный треугольник имеет такое свойство, что его углы связаны с отношением длин его сторон. Это взаимоотношение известно как основная «синусная функция», где синус угла равен отношению длины противолежащей стороны к длине гипотенузы (стороны, противолежащей прямому углу). Знание того, как рассчитать длину на основании измерения угла, всегда имело огромное значение для астрономов и геологов, начиная с шумеров и древних греков и аканчивая индийцами и персами. Гиппарх, древнегреческий астроном, живший во II веке до н. э., считается «отцом тригонометрии». Современные ученые рассматривают тригонометрические функции более широко. Точки на окружности могут быть точно указаны при помощи прямоугольного треугольника; если радиус равен 1, координаты точки на окружности являются синусом и косинусом угла U. Если U увеличивается, то значение y (синуса U) вначале возрастает, а затем уменьшается, становится отрицательным и возвращается к нулю. Когда U продолжает увеличиваться и становится больше 2, цикл повторяется вновь, то есть график синуса U(синусоиды) имеет периодическую волнообразную форму. Таким образом, все явления, которые выглядят или ведут себя волнообразно, могут быть исследованы при помощи основных тригонометрических функций — синусной и косинусной.

x y5sin U x5cosU y U

Математика за 30 секунд g Геометрия и формы При помощи одной только линейки и циркуля вы можете легко разделить угол или построить правильный шестиугольник. Однако вы не сможете выполнить квадратуру круга. КВАДРАТУРА КРУГА АВТОР ТЕКСТА Давид Перри 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ГИППИЙ ЭЛИДСКИЙ ( до н. э. — ?) ЕВКЛИД ( до н. э.) АРХИМЕД (– до н. э.) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА (c. 16) «НАЧАЛА» ЕВКЛИДА (c. 94) «ПИ» — КОНСТАНТА ОКРУЖНОСТИ (c. 96) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Традиция выполнять геометрические чертежи только при помощи линейки и циркуля обосновывается аксиомой из евклидовых «Начал»: ограничения для того, что можно делать с помощью этих инструментов, заключены в самих инструментах. Однако каждый год множество любителей и профессионалов от математики заявляют о найденных решениях для этой нерешаемой задачи. В математических кругах таких людей называют словом crank. Кажется, такова человеческая природа — заниматься поисками в областях, далеких от реальности. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Задача построения квадрата, имеющего ту же площадь, что и заданный круг, представляется довольно простой. Но, увы, математики знают, что решить эту задачу невозможно. Древние греки представляли все числа в виде длины, поэтому почти все их математические вычисления выполнялись геометрически. Деление числа на два было представлено в виде геометрического чертежа. Вначале представьте число как длину отрезка прямой. Затем используйте геометрические инструменты, а именно прямоугольную линейку и циркуль, чтобы разделить отрезок пополам. Вы выполнили деление на два. Выполняя действия с кругом, можно попробовать построить квадрат, площадь которого примерно равна площади круга. Тысячи лет назад математики вплотную подошли к «квадратуре круга», однако ранние попытки основывались на допущении, что p может быть представлена как отношение двух целых чисел. Тогда не только не знали об иррациональности числа p — его трансцендентность была доказана лишь в XIX веке. Несколько веков назад математики, каждый по отдельности, доказывали, что трансцендентные числа не могут быть представлены при помощи линейки и циркуля, и это решение было однозначным и категоричным. Тем не менее, попытки найти решение привели к непредвиденным, но удивительным открытиям. Коническое сечение было изобретено Менехмом с целью решить эту задачу; этой же цели были призваны служить абстрактная алгебра и теория Галуа, предметы исключительной важности в современной математике.

Математика за 30 секунд g Геометрия и формы Закон о параллельных прямых считается ключом к прочим геометрическим открытиям. АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ЕВКЛИД ( до н. э.) КАРЛ-ФРИДРИХ ГАУСС (–) НИКОЛАЙ ЛОБАЧЕВСКИЙ (–) ЯНОШ БОЙАИ (–) ГЕРМАН МИНКОВСКИЙ (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ «НАЧАЛА» ЕВКЛИДА (c. 94) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Гиперболическая геометрия, допускающая большое количество параллельных прямых, всегда впечатляла ученых. Она нашла применение в ХХ веке в новой специальной теории относительности Эйнштейна. Герман Минковский показал, что геометрия Вселенной изначально является гиперболической. После рассмотрения этого утверждения с той позиции, что все скорости ниже скорости света эквивалентны, была открыта гиперболическая природа движения. Понятие параллельных прямых занимает центральное место в «Началах» Евклида, где он рассуждает об основных принципах геометрического построения двухмерной плоскости. Евклид начал с пяти фундаментальных законов геометрии. На их основе он сформулировал заключения, знакомые поколениям студентов; например, теорему о соотношении углов: если две параллельные прямые пересекаются третьей, то углы в местах их пересечения равны. Пятый закон Евклида, известный как «постулат о параллельных прямых», гласит, что если вы проведете прямую, а затем отметите рядом с ней точку, то через эту точку можно провести только одну прямую, параллельную первой. Любой, кто возьмет на себя труд сделать такой чертеж на листе бумаги, убедится, что это правда, однако на протяжении тысячелетий ученые пытаются понять, почему это так. Многие были убеждены, что это следствие других четырех, более простых законов. И лишь в XIX веке Гаусс, Бойаи и Лобачевский независимо друг от друга открыли совершенно новую форму геометрии, которая удовлетворяла первым четырем аксиомам Евклида, в которой «постулат о параллельных линиях» был не актуален. В этой неевклидовой «гиперболической» геометрии существует бесконечное множество прямых, которые могут пересечь данную точку и при этом являться параллельными первой линии. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Параллельные прямые — это бесконечные прямые, никогда не пересекающиеся в пределах одной плоскости, как железнодорожные рельсы. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

1 5 3 7 2 6 4 8 > Диск Пуанкаре демонстрирует гиперболические параллейльные линии > Если две параллельные прямые пересекаются третьей, то углы в местах их пересечения равны

Математика за 30 секунд g Геометрия и формы Алгебраическое описание эллипса (сверху) и его геометрическое представление на графике с использованием декартовой системы координат. ГРАФИКИ АВТОР ТЕКСТА Роберт Фатхауэр 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ НИКОЛА ОРЕСМ (–) РЕНЕ ДЕКАРТ (–) ПЬЕР ФЕРМА (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ МНИМЫЕ ЧИСЛА (c. 18) ФУНКЦИИ (c. 46) ИСЧИСЛЕНИЕ (c. 50) ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ (c. ) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Существуют и другие системы координат помимо декартовой. Например, полярная система координат, на которой отмечаются радиальная координата r и угловая U. Эта система способствует скорейшему решению задач, связанных с лучами, выходящими из определенной точки, как, например, излучение антенны. В более широком смысле, любая карта также может рассматриваться как график, поскольку отображает данные — города, названия дорог, рельеф местности и т. д. — для определения местонахождения. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ График — это геометрическое представление взаимодействия двух или более переменных. В математике графики зачастую используются для геометрического представления математических функций. В других областях, от биологии до бизнеса, графики в основном используют для наглядного представления данных. Традиционно математические графики изображаются на двух перпендикулярных осях координат, обозначенных x и y. Любая точка на плоскости может быть определена с помощью упорядоченной пары координат (x;y), обозначающих ее расстояние от осей x и y. Тот же принцип используется и при изображении трехмерных графиков, здесь добавляется третья ось координат, обозначаемая z. Такая система координат называется декартовой в честь ее основателя, французского математика и философа Рене Декарта. Его современник, Пьер Ферма, независимо развивал сходные идеи. Однако изобретение графика как такового можно смело приписать Николе Оресму, который на три века раньше использовал горизонтальную и вертикальную оси для графического доказательства закона, относящегося к определению расстояния, пройденного двумя объектами, двигающимися с разной скоростью. Реализация Декартом настоящего потенциала графиков явилась продуктивным шагом в истории математики, объединив числа и геометрические фигуры.

1 5 1 (x 21)2 42 (y 22)2 32 x y 6 (1,5) (1,2) (1,–1) (–3,2) (5,2) 4 2 -2 -4 -6 -6 -4 -2 2 4 6


g Иное измерение Аксиома. Утверждение, согласно которому самоочевидная или общепринятая истина принимается как данность без каких-либо доказательств. Бутылка Клейна. Объект с закрытой поверхностью, имеющий лишь одну сторону и не имеющий краев. Бутылка Клейна не может быть создана в трехмерном пространстве без пересечения с самой собой. Названа в честь немецкого математика Феликса Клейна, который впервые описал подобную поверхность в г. Вершина. Любая угловая точка, или угол в многоугольнике или многограннике Додекаэдр (правильный двенадцатигранник). Термин чаще всего используется в отношении правильного многогранника с 12 гранями, каждая из которых представляет собой пятиугольник. Додекаэдр является одним из пяти платоновых тел. Ромбовидный додекаэдр рассматривается как пример неправильного додекаэдра. Икосаэдр правильный (двадцатигранник). Правильный многогранник, состоящий из 20 граней, каждая из которых представляет собой равносторонний треугольник. Икосаэдр является одним из пяти платоновых тел. Итерация. В фрактальной геометрии результат повторного применения какой-либо математической операции. Комплексное число. Любое число, представленное в виде пары действительного и мнимого числовых компонентов; например, a1bi, где a и b означают любые действительные числа, а i5√ Куб. Тело, имеющее шесть сторон, каждая из которых представляет собой квадрат. Куб является одним из пяти платоновых тел. Многоугольник. Любая двухмерная форма, имеющая три или более прямые стороны. Октаэдр. Термин обычно используется для обозначения правильного многогранника, состоящего из восьми граней, каждая из которых представляет собой равносторонний треугольник. Октаэдр является одним из пяти платоновых тел. Полином (многочлен). Выражение, в котором используются цифры и переменные и производятся только действия сложения, умножения и возведения в положительную степень; например, x2 . (См. также полиномиальные уравнения, c. ) ИНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ГЛОССАРИЙ

Глоссарий g Полином Джонса. В теории узлов полином (многочлен), описывающий определенные характеристики отдельных узлов. Полиэдр (многогранник). Любое тело с четырьмя или более гранями, составленное из многоугольников. В правильных многогранниках (например, пять платоновых тел) грани представляют собой правильные многоугольники. Снежинка Кох. Во фрактальной геометрии один из первых фракталов. Каждая сторона равностороннего треугольника подвергается итерации (повторяемой операции), при которой средняя треть каждой стороны замещается фрагментом, который состоит из двух линий, сходящихся в точке, удаленной от самого треугольника. Процесс повторяется бесконечно. Тетраэдр (правильный четырехугольник). Термин обычно используется для обозначения правильного многогранника, состоящего из четырех сторон, каждая из которых представляет собой равносторонний треугольник (отсюда другое его название — треугольная пирамида). Тетраэдр является одним из пяти платоновых тел. Тор. В геометрии фигура, имеющая форму баранки. Факториал. Произведение ряда последовательно нисходящих натуральных чисел; например, Факториал обозначается символом !, т. е. 4! Фрактальное измерение (фрактальная размерность). Размер, или размерность фрактального множества, может быть числом, находящимся в промежутке между двумя натуральными числами. Фрактальное измерение — это способ идентификации очевидного самоподобия фрактала. Эйлерова характеристика. В топологии термин используется для описания специфических топологических данных о форме. Для трехмерных многогранников она строится на основе уравнения V2E1F5 Эйлерова характеристика, где V — количество точек или вершин, E — количество углов, и F — число поверхностей.

Математика за 30 секунд g Иное измерение Познакомьтесь с пятью телами Платона (слева по часовой стрелке): куб, тетраэдр, додекаэдр, икосаэдр и октаэдр. ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА АВТОР ТЕКСТА Ричард Браун 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ПИФАГОР (– до н. э.) ПЛАТОН (– до н. э.) АРХИМЕД (– до н. э.) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ АРХИМЕД СИРАКУЗСКИЙ (c. ) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ В «Тимее» Платон установил равенство данных многогранников с пятью «элементами» природы: куб с землей, тетраэдр с огнем, октаэдр с воздухом, икосаэдр с водой, а додекаэдр с эфиром, из которого возникла Вселенная. В современном мире все эти тела нашли применение в играх; например, мы играем в кости, которые имеют идеальную кубическую форму. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Платоновское тело — это трехмерное тело, все грани которого представляют собой двухмерные правильные многоугольники. Сочетание правильных многоугольников с целью сформировать некое тело — не слишком сложная задача. Представьте себе обычный футбольный мяч, целиком состоящий из сшитых между собой шестиугольников и пятиугольников. Однако проделать такую операцию только с одним многоугольником будет посложнее. В сущности, есть только пять способов сделать это: можно сформировать куб, имеющий шесть сторон, тетраэдр, октаэдр и икосаэдр, состоящие из четырех, восьми и двадцати равносторонних треугольников соответственно; а также додекаэдр, имеющий двенадцать сторон в форме правильных пятиугольников. Древние греки тщательно исследовали этот набор. Платон писал о них в своем диалоге «Тимей». Также полагают, что современник Платона Теэтет был первым, кто привел доказательство, что других тел не бывает. Какова идея? Если сочетаются многоугольники количеством более двух, то они должны иметь общий угол или вершину. При общем угле, сумма углов сопряженных в нем многоугольников должна быть не менее о (сумма не должна быть больше, а при сумме в о форма будет плоской). Это строгое правило. Любой правильный многоугольник с шестью или более сторонами имеет угол более о . Существует несколько способов сочетать остальные равносторонние многоугольники таким образом. Вообще, ими и являются пять способов, приведенные выше!

g Иное измерение Математика за 30 секунд Какая разница между сферой и кубом? Для топологов — никакой. ТОПОЛОГИЯ В топологии куб, пирамида и сфера суть одно и то же. Причина этого в том, что топологам совершенно не интересны точные геометрические свойства формы (длина, площадь, величина углов или кривизна). Вместо этого они фокусируются на глобальных аспектах формы, а также на информации, которая преобладает над вытянутостью или скрученностью (однако не над разрывами и склеиваниями). Каковы характеристики формы, которые так интересны топологам? Типичная информация подобного рода относится к количеству и типу разрывов, которые имеет форма. Например, строчная буква «i» состоит из двух частей, разделенных пробелом, и топологическая трансформация не позволяет данной форме стать закрытой. Поэтому форма «i» эквивалентна форме «j» и числу «11», но не эквивалентна форме «L» или числу «3». Так же и разрыв в форме «О» не может быть удален, что делает ее топографически идентичной формам «А» и «9», но не форме «8», которая содержит два разрыва. Лондонская карта метро представляет собой пример топологии в действии. Точная география города игнорируется, оставляя лишь топологические характеристики: порядок станций, пересечение маршрутов, и все это представлено весьма наглядно. 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Важную роль в топологической науке играет т. н. «Эйлерова характеристика». Для ее представления рисуют некие точки и соединяют их в ребра. На сфере мы можем нарисовать две точки и два ребра, разделяющих ее поверхность на две полусферы. Связанная с этим фундаментальная теория топологии гласит, что с количеством точек V, ребер E и граней F равенство V2E1F52 является верным для любой топологический сферы. Куб имеет V58, E и F Наряду с этим тор имеет Эйлерову характеристику, равную нулю, т. е. V2E1F 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Как и геометрия, топология изучает формы. Различие в том, что топологи считают две формы одной и той же, если одна может трансформироваться в другую. СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ЛЕНТА МЁБИУСА (c. ) ТЕОРИЯ УЗЛОВ (c. ) ДОГАДКА ПУАНКАРЕ (c. ) 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (–) ЖЮЛЬ АНРИ ПУАНКАРЕ (–) ФЕЛИКС ХАУСДОРФ (–) МОРИС РЕНЕ ФРЕШЕ (–) АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес

Математика за 30 секунд g Иное измерение Каждый знает, как выглядит кирпич. Но видел ли ктонибудь идеальный кирпич? Математика не дает ответа. ЭЙЛЕРОВ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ПОЛ ХАЛЬКЕ (? –) ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (–) КЛИФФОРД РЕЙТЕР (р. ) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ (c. 30) ПИФАГОР (c. ) ТРИГОНОМЕТРИЯ (c. ) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Проведя расчеты при помощи компьютера, математики установили, что даже если идеальный эйлеров «кирпич» существует, то его сторона должна быть длиной более 1,,,, единиц. Наиболее близкая по параметрам фигура, найденная учеными, представляет собой идеальный параллелепипед, состоящий из двух прямоугольников и двух параллелограммов (стороны которых не перпендикулярны). Он имеет параметры и диагональ, значения длин которых — целые числа. Довольно легко нарисовать прямоугольник, высота и ширина которого выражены целыми числами. Однако ситуация усложняется, если мы хотим, чтобы длина диагонали в этом прямоугольнике также была выражена целым числом. Если мы измерим длину диагонали квадрата 1см31см, то она будет равна приблизительно 1,41 см — а, точнее √2 см, по теореме Пифагора. Это свойство характерно для любого квадрата: если длины сторон равны целому числу, длина диагонали быть выраженной целым числом не может. Это также верно для многих прямоугольников, однако не для всех. Прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см имеет диагональ, длина которой равна точно 5 см. Другой подобный прямоугольник имеет стороны 5 см и 12 см, и диагональ 13 см. Эйлер пытался найти параллелепипед, в котором все стороны были бы равны целому числу, как и диагонали его сторон. Первый такой параллелепипед был обнаружен Полом Хальке в году. Он имеет высоту 44 единицы, ширину и длину и диагонали , и С тех пор было найдено еще несколько примеров подобных параллелепипедов. Следующим шагом должно быть вычисление диагонали, пересекающей тело насквозь (внутренняя длина от одного угла до противоположного), которая была бы также равна целому числу. Такой «кирпич» был бы признан идеальным. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Параллелепипед — это форма, состоящая из шести прямоугольников.

Математика за 30 секунд g Иное измерение Петля со скручиванием Августа Мёбиуса вызывает удивление и восхищение на протяжении сотен лет. АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (–) АВГУСТ ФЕРДИНАНД МЁБИУС (–) ФЕЛИКС КЛЕЙН (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ТОПОЛОГИЯ (c. ) ТЕОРИЯ УЗЛОВ (c. ) ДОГАДКА ПУАНКАРЕ (c. ) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Возьмем сферу, прорежем в ней два отверстия и соединим их между собой цилиндром. У вас получился тор (фигура в форме бублика). Возьмем другую сферу, прорежем одно отверстие и пришьем по ее краю петлю Мёбиуса (к несчастью, это невозможно сделать втрехмерномпространстве). Это фундаментальный закон топологии: можно создавать любые поверхности из сферы, проделывая в ней отверстия и присоединяя к их краям цилиндрические формы и петли Мёбиуса. Все начинается с прямоугольной бумажной ленты. Если приклеить один ее край к другому, то получится цилиндрическая петля. Однако если вы скрутите ленту на пол-оборота и только потом склеите концы, у вас получится нечто более интересное: лента, или петля, Мёбиуса. Самое интересное в том, что у этой фигуры имеется лишь одна сторона и один край! Если вы проведете линию от середины ленты, она появится и на одной, и на другой «стороне», прежде чем встретится со своим началом, поскольку эти две стороны по сути являются одной и той же. Вы можете спросить, что случится, если разрезать ленту по проведенной нами центральной линии. Забавно, но в результате этой процедуры не получится двух разных петель, а только одна. Попробуйте — и увидите! Петли Августа Мёбиуса всегда восхищали и детей, и взрослых с тех пор, как были открыты в г. Но для математиков их важность состоит в том, что из этих петель могут быть получены другие фигуры. Если вы возьмете две петли Мёбиуса и склеите их по краю, у вас получится фигура с односторонней поверхностью, известная как бутылка Клейна. (Проблема состоит лишь в том, что ее невозможно воспроизвести в трехмерном пространстве так, чтобы она не пересекалась сама с собой). 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Петля Августа Мёбиуса открывает перед вами целый мир удивительных форм. ЛЕНТА МЁБИУСА

г. до н. э. Родился в Сиракузах г. до н. э. Обучался в Александрии, Египет (возможно) г. до н. э. Умер при осаде Сиракуз г. н. э. Исидором Милетским выполнена первая солидная компиляция его работ VI в. н. э. Комментарии к архимедовым трудам «О сфере и цилиндре», «Квадратура параболы» и «Две книги о равновесии», написанные Евтосом Аскалонским В Константинополе найден палимпсест Архимеда 29 октября Все данные, имеющие отношение к Архимеду и основанные на палимпсесте, выложены в открытом доступе в Интернете

Архимед Сиракузский g Несмотря на то, что его работы были известны древнегреческим школьникам, студентам VI в. н. э. и Средневековья, даже ученые ХХ века могли только предположить, что его изобретения базировались на какой-то математической теории. Лишь с г., когда был найден палимпсест Архимеда, удалось пролить свет на его теоретическую работу. В х гг. удалось расшифровать некоторые фрагменты манускрипта, но современная графическая техника раскрыла все, что нам сегодня известно о работах Архимеда, и показала, насколько близко он подошел к определению значения числа p; он разработал методику определения параболической проекции, ввел в обиход число «десять тысяч», а также доказал (чем он более всего гордился), что объем и площадь поверхности сферы равны двум третям от объема и площади поверхности цилиндра той же высоты и диаметра (включая основание). На могиле Архимеда была установлена скульптура, изображающая сферу и цилиндр (сегодня утрачена), которая оставалась незамеченной до тех пор, пока в 75 г. до н. э. не была обнаружена и очищена оратором Цицероном, по иронии судьбы, римлянином, от рук которых пал сам Архимед во время осады Сиракуз. Во всеобщем представлении Архимед — это изобретательный ученый, который, выскочив голым из ванной, бегал по улицам и кричал: «Эврика!» («Я нашел»!) и который открыл способ определения объема объекта неправильной формы (путем измерения объема воды, вытесненной им). Как и многие истории подобного рода, это, скорее всего, неправда, однако все же он открыл то, что сегодня называют Законом Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной этим телом жидкости. Архимед — самый известный из практиков в математике Древней Греции — также знаменит благодаря изобретению винтового насоса, названного по его имени (архимедов винт), и объяснению принципов работы рычага. Он также занимался изобретением военных орудий: «архимедовы когти» (кран, который мог вытаскивать корабли противника из воды) и «тепловой луч» (огромный набор зеркал, сконструированный так, чтобы ловить солнечные лучи и концентрировать их в один световой поток). Тем не менее, весьма спорно, что какое-либо из этих орудий действительно работало. АРХИМЕД СИРАКУЗСКИЙ

g Иное измерение Математика за 30 секунд Первые четыре действия в итеративной конструкции классического фрактала называются кривой Кох. ФРАКТАЛЫ АВТОР ТЕКСТА Роберт Фатхауэр 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ГЕОРГ КАНТОР (–) ХЕЛЬГА ФОН КОХ (–) ВАЦЛАВ СЕРПИНСКИЙ (–) ГАСТОН ЖЮЛИА (–) БЕНУА МАНДЕЛЬБРОТ (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ МНИМЫЕ ЧИСЛА (c. 18) БЕСКОНЕЧНОСТЬ (c. 38) ФУНКЦИИ (c. 46) ГРАФИКИ (c. ) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Идея итерирования простого множества правил с целью получить более сложные объекты является очень эффективной, а многие объекты в природе проявляют свойства фракталов в ограниченном процессе увеличения. К ним относятся ветвистые структуры (деревья, речные сети, а также человеческая система кровообращения). Линия берега Великобритании являет собой пример фрактальной кривой. Фрактальные поверхности могут быть замечены в строении капусты брокколи, горных массивов и структуре облаков. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Фрактал — это абстрактный или физический объект, обладающий той же структурой при различном увеличении. В конце XIX — начале XX века математики изобрели ряд конструкций, которые были малопонятны на уровне развития математики того времени. Канторовское множество — это бесконечное множество точек, определяемое при помощи отрезка, где исключается средняя треть, затем средняя треть от двух оставшихся отрезков, средняя треть четырех отрезков, и т. д. Процесс повторения одного действия или их последовательности называется итерацией и является центральным понятием в отношении фракталов. Ранние примеры фракталов включали в себя такие вариации, как кривые Кох и Пеано, а также треугольник Серпинского, который соотносится с треугольником Паскаля. В кривой Кох (относящейся к «снежинке Кох»), каждый отрезок при каждой итерации замещается четырьмя сегментами, равными трети изначального, то есть длина отрезка с каждым повтором операции увеличивается. Про такие объекты говорят, что они имеют фрактальную размерность. Представление итераций в виде простых функций, как x2 1c, где x и c — комплексные числа (включающие в себя действительные и мнимые части), а также зарисовка результатов в виде графика на комплексной плоскости создает сложные, красивейшие объекты, известные, как множества Жюлиа.

Математика за 30 секунд g Иное измерение Фигурка оригами, для создания которой лист бумаги был сложен в несколько квадратных шаблонов. АВТОР ТЕКСТА Роберт Фатхауэр 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ СУДЗО ФУДЗИМОТО (р. ) ХУМИАКИ ХУДЗИТА (–) РОБЕРТ ЛЭНГ (р. ) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ АЛГОРИТМЫ (c. 84) «НАЧАЛА» ЕВКЛИДА (c. 94) ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА (c. ) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ На японском спутнике размещена солнечная батарея, сложенная по принципу оригами. Техники оригами были задействованы при определении оптимальной степени свертки подушки безопасности в автомобилях для ее лучшего развертывания. Стент, вводимый в вену или артерию для предотвращения ее закупорки, также был создан по подобию оригами; как и тонкая пластиковая линза, которая разворачивается в огромном космическом телескопе для проведения астрономическим наблюдений. Оригами — древнее японское искусство изготовления поделок путем сгибания бумаги — по сути, имеет прямое отношение к геометрии. В прошлые десятилетия были достигнуты определенные успехи в отношении изучения математики оригами. Худзита, Жюстин и Хатори сформулировали ряд аксиом на основе оригами, используя принцип выведения геометрических аксиом. Кроме того, не так давно математические теоремы, относящиеся к теоретическим вопросам оригами, были снабжены доказательствами. Алгоритмы, призванные помочь в поиске оптимальных решений, как складывать из чего-либо сложные фигуры, были разработаны Лэнгом и другими вместе с соответствующими компьютерными программами. В этих программах могут быть созданы складчатые шаблоны, передающие изгибы и неровности горы или долины и придающие им желаемую форму. Изначально оригами фокусировалось на изображении животных или растений, но, тем не менее, создание геометрических форм — первейшая цель современных техник оригами. В бумажных фигурках используется сеть складок, позволяющих создать необходимые геометрические фигуры, зачастую один шаблон используется в фигурке многократно. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Геометрия оригами – это математика искусства складывать квадратный лист бумаги для создания более сложных форм. ОРИГАМИ

Математика за 30 секунд g Иное измерение В Кубике Рубика совершается последовательность вращений с целью перестроить зашифрованный Кубик так, чтобы каждая его сторона была своего цвета; а число возможных перестроений составляет 43 квинтиллиона! КУБИК РУБИКА АВТОР ТЕКСТА Роберт Фатхауэр 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ДАВИД СИНГМАСТЕР (р. ) ЭРНО РУБИК (р. ) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ КАК ПРОСЧИТАТЬ ШАНСЫ (c. 58) АЛГОРИТМЫ (c. 84) МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ (c. 86) ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА (c. ) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Помимо классического Кубика Рубика (), были также созданы его модификации , , , и Число возможных сочетаний для Кубика составляет более (это единица, за которой стоит нулей!). Прочие подобные версии включают в себя , и Также были созданы версии, построенные на основе остальных четырех платоновых тел (тетраэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр). Кубик Рубика был изобретен Эрно Рубиком в г. и с г. поступил в продажу в его родной Венгрии. В г. фирма Ideal Toy Company начала продавать его по всему миру, и на сегодняшний день продано около миллионов экземпляров. Поворотный механизм позволяет каждой из секций Кубика вращаться независимо от других. Существует около 43 квинтиллионов () возможных сочетаний (или перестановок) его 26 элементов. Решить задачу Кубика довольно просто, если запомнить алгоритмы для достижения нужного результата, например, сделать три угла стороны кубика одного цвета, не совершив более никаких изменений. Создание системы условных знаков, разработанной Дэвидом Сингмастером, позволяет записывать такие алгоритмы. Сингмастер также придумал одно из самых популярных общих решений Кубика. Для математиков Кубик — всего лишь физическое представление алгебраической группы. Его анализ с данной точки зрения показывает, что он может быть решен с любой начальной позиции не более чем в 20 перемещений. Только в г. было приведено математическое доказательство этого положения. В г. мировой рекорд решения Кубика Рубика был поставлен Феликсом Зендерсом и составил менее 7 секунд. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Кубик Рубика — это механическая головоломка, которая решается при помощи организации элементов ее поверхностей (3 3 3) так, чтобы каждая сторона имела свой цвет.

Математика за 30 секунд g Иное измерение Узлы могут иметь множество форм. Однако трудно сказать, являются ли два узла одинаковыми. АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ УИЛЬЯМ ТОМСОН (ЛОРД КЕЛЬВИН) (–) ДЖЕЙМС УЭДДЕЛЛ АЛЕКСАНДЕР (–) ДЖОН КОНУЭЙ (р. ) ЛЬЮИС КАУФМАН (р. ) ВОАН ДЖОНС (р. ) СВЯЗАННАЯ ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЯ (c. ) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Теория узлов очень важна для широкой науки. Например, цепочки ДНК в наших клетках постоянно связываются и развязываются большим количеством энзимов. Если в ДНК образуется слишком много узлов, клетки обычно умирают. Биохимики, желающие понять, какую же функцию выполняют энзимы, как раз и должны проанализировать получающиеся узлы математически. Каждый моряк и бойскаут знает, что существует множество способов завязать узел. Различие лишь в том, сколько раз веревка оплетается вокруг себя и сколько образуется петель. Две завязанные петли являются одной и той же, если одну из них можно протянуть и выпрямить до тех пор, пока она не примет форму второй, без разрезания или склеивания. Простейший узел из всех называется «петля» — это всего лишь петля, не завязанная на узел. Но даже тут проявляется основная сложность: элементарно привести сделанную «петлю» в сплошь запутанное и завязанное состояние (те, кто хоть раз был на рыбалке, поймут, о чем речь). В состоялся прорыв: был сформулирован многочлен Джонса, способный назначить алгебраическое выражение для любого узла. Оно существует для каждого из узлов, и если два узла имеют различные решения многочлена Джонса, то они не могут быть одинаковыми. Это эффективно помогает, например, отличить узел от его точного зеркального отражения, что раньше представляло собой проблему. Однако сегодня все еще нет такой техники, которая бы определяла, являются ли два узла идентичными (некоторые из узлов, очевидно разных, имеют одинаковые результаты многочлена Джонса) или даже являются ли данные узлы узлами! 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Возьмите веревку, завяжите на ней несколько узлов и соедините ее концы. Как определить, являются ли две петли, завязанные подобным образом, идентичными? Уже столетие ученые бьются над этой задачей. ТЕОРИЯ УЗЛОВ


g Доказательства и теоремы Аксиома. Утверждение, согласно которому самоочевидная или общепринятая истина принимается как данность без каких-либо доказательств. Алгебраическая теория чисел. Направление в математике, которое изучает в первую очередь свойства и взаимоотношения алгебраических чисел (любых чисел, которые могут являться корнем ненулевого многочлена, содержащего целые коэффициенты). Бутылка Клейна. Объект с закрытой поверхностью, имеющий лишь одну сторону и не имеющий углов. Бутылка Клейна не может быть создана в трехмерном пространстве без пересечения с самой собой. Названа в честь немецкого математика Феликса Клейна, который впервые описал подобную поверхность в г. Гиперсфера. Трехмерная версия двухмерной сферы (например, поверхность глобуса). Это компактное многообразие без креплений или отверстий. Гиперсфера может быть визуализирована только в четырехмерном или более измерении. (См. многообразие). Действительное число. Любое число, выражающее ту или иную величину, расположенное на числовой прямой, или в континууме. К действительным числам относятся рациональные и иррациональные числа. Десятичное число. Любое число на числовой линии, которое содержит десятичную запятую; например, 10, Комплексное число. Любое число, представленное в виде пары действительного и мнимого числовых компонентов; например, a1bi, где a и b означают любые действительные числа, а i5√ Лента Мёбиуса. Поверхность, которая имеет только одну сторону и один край. Получается путем скручивания прямоугольной бумажной ленты и соединения ее концов между собой. Линейное уравнение. Любое уравнение, которое в качестве графического представления имеет прямую линию, отсюда происходит название. Линейные уравнения состоят из членов, которые выражены либо константами, либо производными от константы, а также переменных. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА И ТЕОРЕМЫ СЛОВАРЬ

Глоссарий g Многообразие — это форма, в которой каждая область выглядит как обыкновенное евклидово (или действительное) пространство. Многообразия существуют в любом измерении. Кривая линия (например, в окружности) представляет собой одномерную фигуру. Двухмерное многообразие — это поверхность (например, сфера), где каждый сегмент является кусочком двухмерной плоскости. Гиперсфера представляет собой пример трехмерного многообразия, поскольку каждая малая зона сходна с обычным трехмерным пространством. (См. гиперсфера). Натуральное число. Также известно как целое, или исчисляемое число. Натуральное число — это любое положительное недробное число, расположенное на числовой прямой, или в континууме. Однако до сих пор нет единого мнения, является ли 0 натуральным числом или нет. Нетривиальное решение. Любое решение линейного уравнения, при котором его корни не равны нулю. Решение, при котором корни уравнения равны нулю, называется тривиальным. Простое число. Положительное целое число, которое делится только на 1 и самое себя. Теорема. Математическая истина, требующая доказательства, которое строится на основе комбинации фактов, доказанных ранее и/или аксиом. Теория доказательств. Направление в математической логике, в котором доказательство рассматривается как математическое целое. Теория доказательств играет основную роль в философии математики. Тор. В геометрии фигура, имеющая форму баранки. Треугольник Пифагора. Любое множество, состоящее из трех положительных целых чисел (a, b и c), которое подчиняется правилу a2 1b2 5c2 . Наименьший известный треугольник Пифагора выглядит следующим образом: 32 . Целое число. (См. натуральное число).

Математика за 30 секунд g Доказательства и теоремы Надпись на полях, сделанная Ферма, была обнаружена только после его смерти. Первая тетрадь Эндрю Уайлса, содержащая доказательство теоремы Ферма, содержит листов — и поля в ней пусты. АВТОР ТЕКСТА Дэвид Перри 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ПЬЕР ФЕРМА (–) СОФИ ЖЕРМЕН (–) КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС (–) ЭНДРЮ УАЙЛС (р. ) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ (c. 30) «НАЧАЛА» ЕВКЛИДА (c. 94) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Теорема Ферма не имеет очевидной практической ценности. Однако труднодостижимость доказательства возбуждала умы многих поколений математиков. Можно легко утверждать, что целая область математики под названием «алгебраическая теория чисел» была создана только для того, чтобы решить этот единственный вопрос. Работа Уайлса буквально опиралась на плечи гигантов, а объявление о том, что доказательство теоремы Ферма найдено, было опубликовано на первой странице «Нью-Йорк Таймс». Пьер Ферма жил в XVII веке и был юристом и математиком-любителем. Он находился в процессе изучения копии «Арифметики» Диофанта, когда прочел раздел, посвященный пифагоровой тройке (квадраты целых чисел в сумме также дают квадрат целого числа; например, 32 ). Формула для произведения подобных троек также появляется и в евклидовых «Началах». Ферма заявлял, что ни одна из таких троек не может быть найдена, если вместо второй степени числа возвести в третью, четвертую, и т. д. В своей копии «Арифметики» он сделал надпись, что он вывел поразительное доказательство своей теореме, однако оно не могло уместиться на полях книги. Сотни математиков провели тысячи часов в попытках вывести это доказательство, но в лучшем случае они могли лишь доказать, что уравнение не имеет решения при только определенных показателях степени. Сам Ферма чуть позже опубликовал доказательство для случая, когда n Тяжеловесы от математики, вроде Эйлера и Гаусса, также могли привести доказательство теоремы лишь для определенных случаев. Первая серьезная попытка найти решение для всех показателей n была проделана Софи Жермен в начале XIX века. Доказательство Великой Теоремы Ферма ограничивалось предположениями вплоть до года, когда в конце концов было определено британским математиком Эндрю Уайлсом. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Нет ни одного нетривиального решения для уравнения xn1yn5zn при n . 2, являющегося целым числом. Три столетия ушло у математиков, чтобы доказать это простое утверждение. ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА

17 августа Родился в Бомон-деЛомань, юг Франции е Учился в Бордо Получил степень юриста в области гражданских прав в Орлеанском университете Назначен королевским библиотекарем в Париже Пишет манускрипт «Введение к теории плоских и пространственных мест», предшествующий «Геометрии» Декарта Ведет переписку о теории вероятности с Паскалем Переписывается с Гюйгенсом Отправляет экземпляры «Открытий в науке чисел» Гюйгенсу и Каркави 12 января Умер в Кастре Самюэлем Ферма опубликовано издание «Арифметики» Диофанта, содержащее заметки Пьера Ферма Посмертно опубликовано «Введение к теории плоских и пространственных мест» Эндрю Уайлс нашел доказательство Великой Теоремы Ферма

ПЬЕР ФЕРМА Пьер Ферма g вал эти нападки тем, что находил доказательства для утверждений, что некоторые задачи вовсе не имеют решений. Он пользовался большим уважением у таких мэтров того времени, как Богар, Каванчи и Мерсенна, с которым некоторое время жил и работал в Париже. Ньютон публично заявлял, что он бы никогда не изобрел дифференциального исчисления, если бы не новаторская работа Ферма о кривых и касательных, а также разработки проблемы «адекватных» равенств. Он вел знаменитую переписку с Паскалем, в ходе которой оба сражались с задачами «о разорении игрока», а пришли к формулировкам принципов теории вероятности. Ферма также вел споры о теории геометрии с Декартом и опередил его, выдвинув собственную теорию за год до того, как Декарт опубликовал свою. Ферма оказался прав, однако Декарт, человек света, использовал свое влияние, чтобы очернить имя Ферма и обесценить его репутацию. Противоречивый, блестящий и загадочный Ферма покинул мир, оставив напоследок то, что и сегодня имеет флер неразрешимой загадки: свою знаменитую Великую Теорему, написанную, будто запоздалая мысль, на полях одной из книг. Его теорема оставалась неразрешимой загадкой на протяжении лет. Благодаря таинственности, которая столетиями окружала знаменитую теорему Ферма, его имя сегодня известно как математикам, так и людям, далеким от нее. Несмотря на то, что Ферма внес огромный вклад в геометрию, теорию вероятности, физику и математику, а также имеет славу основателя современной теории чисел, он всеми силами поддерживал свой статус математика-любителя на протяжении всей своей жизни. Он выносил на обсуждение все свои идеи и открытия в виде писем и рукописей, избегая при этом публикаций; возможно, потому, что он не хотел, чтобы его заметки и теории издавались в соответствии с какими бы то ни было стандартами печати. Как и его идейный наставник, Франсуа Виет (–), он одно время работал юристом, советником в высшем суде Тулузы. Ферма держался в стороне от мира академиков; он не имел желания рьяно демонстрировать всем выведенные им доказательства либо подвергаться нападкам экспертов от науки. В самом деле, некоторые из его коллег поговаривали, что Ферма не делится с широкой публикой своими доказательствами, потому что таковых и нет; а также обвиняли его в том, что он постоянно дразнит их задачами, которые слишком сложны для решения. Ферма париро

Математика за 30 секунд g Доказательства и теоремы При раскрашивании карты нужно только четыре цвета, чтобы две страны, имеющие общую границу, не имели общей окраски. лет понадобилось математикам, чтобы доказать, почему пятый цвет не понадобится. ПРОБЛЕМА ЧЕТЫРЕХ КРАСОК АВТОР ТЕКСТА Джейми Поммерсхайм 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ВОЛЬФГАНГ ХЕЙКЕН (р. ) КЕННЕТ АППЕЛЬ (р. ) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ТОПОЛОГИЯ (c. ) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Теорема четырех красок — первая крупная теорема, доказанная при помощи компьютера. Использование технологии вызвало споры, которые продолжаются по сей день; они касаются вопроса, могут ли доказательства, выведенные с помощью компьютера, считаться подтвержденными математическими доказательствами. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Вам потребуется только четыре цвета, чтобы раскрасить страны на карте так, чтобы граничащие между собой страны не имели одинаковой окраски. Предположим, что у вас есть изображение карты мира, и вы хотите сделать вашу карту более привлекательной, раскрасив страны разными цветами. Вы решаете, что каждые две страны, имеющие общую границу, не должны быть одного и того же цвета. Франция, Бельгия, Германия и Люксембург потребуют разных красок, поскольку каждая из этих четырех стран имеет общую границу с тремя другими. Итак, вам потребуется как минимум четыре разных цвета. Придется ли вам в какой-то момент воспользоваться пятым цветом? Теорема четырех красок утверждает, что не придется. Неважно, насколько большой и детальной будет карта, которую вы раскрашиваете; вы имеете возможность раскрасить страны лишь четырьмя цветами, поскольку они граничат между собой. Несмотря на простую формулировку, теорему четырех красок крайне сложно доказать. Только в году, через лет после ее формулировки, американские математики Кеннет Аппель и Вольфганг Хейкен нашли доказательство. Четырех цветов вполне хватает для того, чтобы раскрасить карту на сфере или плоскости, однако все не так просто в отношении карт, изображенных на других видах поверхностей. Картографы раскрашивают карту на торе, используя ровно семь цветов, а в случае петли Мёбиуса красок требуется шесть.

Математика за 30 секунд g Доказательства и теоремы Как и шахматы, математика является всего лишь игрой. Но каковы же правила этой игры? АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ДАВИД ГИЛЬБЕРТ (–) ВИЛЬГЕЛЬМ АКЕРМАНН (–) ДЖОН ФОН НЕЙМАН (–) КУРТ ГЁДЕЛЬ (–) АЛАН ТЬЮРИНГ (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ АЛГОРИТМЫ (c. 84) ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ О НЕПОЛНОТЕ (c. ) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Несмотря на то, что программа Гильберта не оправдала его надежд, работа этого ученого оказала сильное влияние на математику. Его «формалистский» подход к обращению с числовыми системами как с играми вызвал новый интерес к математической логике. И хотя одна компьютерная программа или один алгоритм никогда не дадут ответа на все математические задачи, тем не менее, некоторые подклассы задач могут быть решены таким образом. В начале ХХ века математика находилась в условиях т. н. «кризиса основ». В то время как математики искали решения для задач, сложность которых возрастала с каждым годом, определенные фундаментальные вопросы все еще оставались без ответов. Откуда появились числа? Каковы законы их существования? Почему некоторые числовые задачи настолько трудны? Давид Гильберт выдвинул весьма прямолинейную идею в отношении этих вопросов. Он предлагал обнажить математику вплоть до самых ее основ и при изучении считать ее не более чем игрой. Так же, как в шахматах есть фигуры: пешки, ладьи и прочее, так и математика имеет в своем арсенале символы в качестве основных элементов: 0, 1, 1, 3, 5 и т. д. Упростив математику до игры с символами и оставив при этом их «значения» в стороне, Гилберт пытался определить фундаментальные правила этой игры. Формулируя их, он надеялся открыть некую стратегию, как можно победить в данной игре. Это был бы единственный метод, который определил бы, является ли какое-либо утверждение в отношении чисел верным или ложным. К несчастью, программа Гильберта так и не была воплощена в реальность. Теорема Курта Гёделя о неполноте показала, что законченное множество правил никогда не может быть определено. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Давид Гильберт надеялся, что при использовании логики, находящейся в основе всей структуры арифметики, он сможет обнаружить первоначальную теорию математики. ПРОГРАММА ГИЛЬБЕРТА

Математика за 30 секунд g Доказательства и теоремы Арифметика полна теоретических пробелов. Однако многие логики утверждают, что их список будет пополняться. АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ АЛЬФРЕД ТАРСКИ (–) ДЖОН ФОН НЕЙМАН (–) КУРТ ГЁДЕЛЬ (–) ДЖОН БАРКЛИ РОССЕР (–) ГЕРХАРД ГЕНЦЕН (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНОСТЬ (c. 38) АЛГОРИТМЫ (c. 84) ПРОГРАММА ГИЛЬБЕРТА (c. ) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Хотя Гёдель убеждает нас, что ни одна полная инструкция по арифметике никогда не будет написана, все же была выстроена иерархия логических систем, в которой каждая система закрывает множество пробелов в системе предыдущего уровня. Предмет «теории доказательств» сравнивает логическую состоятельность разных систем, тогда как сторонники «реверсивной математики» желают понять, где можно применить классические математические выводы. Центральным элементом всей математики является арифметика — система целых чисел (0, 1, 2, 3, ), включающая также способы их комбинирования: сложение, вычитание, умножение и деление. Тысячелетиями математики бились над этой системой, и в конце XIX века их внимание наконец обратилось на поиски ее фундаментальных законов. То, что искали ученые, было перечнем базовых арифметических правил, на основе которых могут быть логически выведены теоремы более высокого уровня. Появилось несколько пробных вариантов инструкций, прежде всего трехтомная работа Бертрана Рассела и Альфреда Норта Уайтхеда «Принципы математики» (Principia Mathematica). Авторы пытались выстроить целостную структуру математики, заложив в основание список фундаментальных положений. Однако в году Курт Гёдель доказал, что все подобные попытки обречены на неудачу. Он привел доказательство теоремы, утверждающей, что невозможно составить полный перечень всех арифметических правил. Любая попытка автоматически делает такой перечень «неполным». Всегда какое-либо утверждение о целых числах будет оставаться неучтенным: несмотря на истинность, оно не может быть логически выведено из прочих законов. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Курт Гёдель поразил мир своим открытием, что никто и никогда не сможет составить полный список правил науки о числах. ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ О НЕПОЛНОТЕ

Математика за 30 секунд g Доказательства и теоремы Если любая петля сжимается в ничто, то формой в таком случае должна быть сфера. АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ЖЮЛЬ АНРИ ПУАНКАРЕ (–) СТИВЕН СМЭЙЛ (р. ) РИЧАРД ХЭМИЛТОН (р. ) МАЙКЛ ФРИДМАН (р. ) ГРИГОРИЙ ПЕРЕЛЬМАН (р. ) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ ТОПОЛОГИЯ (c. ) ЛЕНТА МЁБИУСА (c. ) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Догадка Пуанкаре может применяться в отношении многообразий больших измерений. В году Стивен Смэйл и Макс Ньюмэн доказали, что во всех измерениях, от пятого и выше, гиперсфера — единственная фигура, не имеющая отверстий. Затем в году Майкл Фридман доказал, что та же гипотеза верна и в четырехмерном измерении. Так что применение гипотезы Пуанкаре к трехмерному измерению (наиболее интересовавшему автора гипотезы) в конечном счете явилось завершающим кусочком данной математической мозаики. Поверхность сферы не содержит отверстий. Это очевидно. Но что это означает, когда поверхность имеет отверстие? Математическое определение таково: если вы рисуете петлю на поверхности сферы, то можно продолжать рисовать ее вплоть до момента, когда она превратится в единую точку. В случае с тором (фигурой, имеющей вид баранки) это работает не всегда. Петля на его поверхности в конце концов упрется в отверстие посредине фигуры. Для математиков выражение «не иметь отверстий» означает то, что отверстия должны сжиматься. Двойной тор также имеет отверстия, так же, как и более сложная по структуре бутылка Клейна. С начала XIX века мы знаем, что с позиции топологии сфера фактически представляет собой единую закрытую поверхность без отверстий. Это значит, что любая фигура, обладающая закрытой поверхностью без отверстий, может быть трансформирована в сферу. Поверхность представляет собой двухмерную форму. Вопрос Пуанкаре выглядел так: остается ли фигура той же, если мы перейдем в трехмерное пространство, где поверхности заменяются формами под названием «многообразия». Пуанкаре полагал, что единое трехмерное многообразие без отверстий станет называться «гиперсферой», старшей сестрой обычной сферы. В году эта гипотеза была доказана Григорием Перельманом. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Анри Пуанкаре считал, что сфера является единственной формой, не содержащей отверстий в любом измерении. Столетие спустя его догадка подтвердилась. ДОГАДКА ПУАНКАРЕ

Математика за 30 секунд g Доказательства и теоремы Бесконечность многообразна. Но как нам узнать, где же искать это многообразие? 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Научное наследие Кантора – одна из немногих областей, где математика объединяется с идеологией. Современник Кантора Леопольд Кронекер целиком отмел предмет обсуждений, заявив, что «Бог создал целые числа, все остальное — творения человека». С другой стороны, Давид Гильберт утверждал: «Никто не может изгнать нас из Рая, который создал Кантор». Это противостояние продолжается и по сей день. АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ ГЕОРГ КАНТОР (–) КУРТ ГЁДЕЛЬ (–) ПОЛ КОЭН (–) ХЬЮ ВУДИН (р. ) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНОСТЬ (c. 38) ПРОГРАММА ГИЛЬБЕРТА (c. ) ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ О НЕПОЛНОТЕ (c. ) Списокнатуральныхчиселбесконечен: 1, 2, 3, 4, 5, Также существует бесконечное множество действительных чисел (например, десятичных, как 5, или p, или 0,). Эти два вида бесконечности известны как «исчисляемая бесконечность» и «континуум». К вящему беспокойству современников, Георг Кантор доказал, что эти два вида бесконечности — на самом деле разные вещи. В самом буквальном смысле количество десятичных чисел больше, нежели количество целых чисел. Этого мало: помимо этих двух Кантор выделил и другие уровни бесконечности (в сущности, бесконечно много). Тем не менее, для простых математиков эти два являются наиболее важными видами бесконечности. Кантор продемонстрировал, что континуум является большей бесконечностью, нежели ее исчисляемый уровень. Но он не знал, существуют ли промежуточные уровни между двумя основными. Он полагал, что их нет, и это предположение обрело известность как «континуум-гипотеза». Вопрос оставался открытым до года, когда американский математик Пол Коэн привел доказательство тому, что гипотеза о континууме формально неопределенна. Это означает, что при наличии известных в настоящее время математических законов континуум-гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Георг Кантор обнаружил, что бесконечность может принимать множество форм. Но каков характер взаимоотношений форм бесконечности, до сих пор остается невыясненным. КОНТИНУУМГИПОТЕЗА

g Доказательства и теоремы Математика за 30 секунд Правда ли, что все нули Римана располагаются на вертикальной прямой? Этот вопрос стоит между нами и тайной простых чисел. ГИПОТЕЗА РИМАНА АВТОР ТЕКСТА Ричард Элвес 3-СЕКУНДНЫЕ БИОГРАФИИ КАРД ФРИДРИХ ГАУСС (–) БЕРНХАРД РИМАН (–) ЖАК АДАМАР (–) ШАРЛЬ ДЕ ЛА ВАЛЛЕ ПУССЕН (–) СВЯЗАННЫЕ ТЕОРИИ МНИМЫЕ ЧИСЛА (c. 18) ПРОСТЫЕ ЧИСЛА (c. 22) ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ (c. 30) 3 МИНУТЫ: ДОБАВЛЯЕМ Хотя гипотеза Римана не была доказана, его идеи в полной мере являются доказательством теоремы о простых числах. Представленная в виде предположения в году Гауссом, она позволяет определить количество простых чисел до любых пределов. Гаусс не смог привести доказательство этой теоремы, но в году ученые Адамар и Ла Валле Пуссен независимо друг от друга нашли его, сузив римановы нули до критической прямоугольной полосы между 0 и 1. 3 СЕКУНДЫ: СУММИРУЕМ Риман сформулировал правило, описывающее порядок простых чисел. Это правило работает, но никто еще не смог доказать, что его результаты всегда верны. Даже сегодня математики ломают голову над простыми числами. Проблема в том, что часто простые числа ведут себя непредсказуемо. Трудно сказать, когда появится следующее простое число: иногда они возникают быстроивнезапно(например,,,,), а иногда между ними находятся довольно большие промежутки (например, , , , ). И все же в году Бернхард Риман представил формулу, приведшую весь этот беспорядок к системе. Именно эту формулу и искали математики всего мира. Она определяла точное количество простых чисел на любом уровне. И хотя на практике формула работала безотказно, Риман не мог привести доказательств, что каждый раз результат был верен. Центральным элементом формулы был загадочный объект под названием «зета-функция Римана». Функция — это правило, которое использует некое входящее число и в результате выдает другое число (значение). В случае гипотезы Римана, и входящее число, и значение функции являются комплексными. Что Риман хотел выяснить — это какие входящие величины давали бы в результате нуль. Он предположил, что все необходимые нули лежат на вертикальной прямой, которая делит действительную ось (a) в отношении 1 /2 и дублируется «критической линией». Однако с тех пор ни он, ни кто-либо другой не смог привести убедительное доказательство, что это так.

a b Критическая линия


g Приложения ИСТОЧНИКИ Fractal Trees Robert Fathauer (Tarquin Publications, ) G del, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid Douglas Hofstadter (Basic Books, ) How To Build A Brain Richard Elwes (Quercus, ) Innumeracy: Mathematical Illiteracy and its Consequences John Allen Paulos (Hill and Wang, ) The Man Who Loved Only Numbers Paul Hoffman (Fourth Estate, ) Mathematical Puzzles and Diversions Martin Gardner (Penguin, ) Maths Richard Elwes (Quercus, ) КНИГИ 50 Mathematical Ideas You Really Need to Know Tony Crilly (Quercus, ) The Book of Numbers John H. Conway and Richard K. Guy (Copernicus, ) The Colossal Book of Mathematics Martin Gardner (W. W. Norton & Co., ) Designing and Drawing Tessellations Robert Fathauer (Tessellations, ) e: the Story of a Number Eli Maor (Princeton University Press, ) Fermat’s Enigma Simon Singh (Walker & Co., ) Flatland: A Romance of Many Dimensions Edwin Abbott (Oxford University Press, )

Источники g Number Theory: A Lively Introduction with Proofs, Applications, and Stories James Pommersheim, Tim Marks and Erica Flapan (John Wiley & Sons, ) The Princeton Companion to Mathematics Timothy Gowers (ed) (Princeton University Press, ) What Is the Name of This Book? The Riddle of Dracula and Other Logical Puzzles Raymond Smullyan (Penguin Books, ) ВЕБ-САЙТЫ +Plus Magazine goalma.org An online mathematics journal with the latest mathematical news and articles from top mathematicians and science writers. Cut the Knot goalma.org An encyclopaedic collection of maths resources for all grades. Arithmetic games, problems, puzzles and articles. MacTutor History of Mathematics Archive goalma.org Mathematical archive covering the development of mathematics with biographies of famous mathematicians. Math is Fun goalma.org Maths resources for children, teachers and parents – with a useful illustrated dictionary. The Mathematica Demonstrations Project goalma.org Animations related to a wide range of maths topics. PlanetMath goalma.org PlanetMath is a virtual community that aims to help make mathematical knowledge more accessible. Wolfram MathWorld goalma.org An extensive mathematics resource and the world’s largest collection of mathematical formulas and graphics.

g Приложения Ричард Браун — член факультета и директор Департамента студенческого математического образования в Университете Джона Хопкинса в Балтиморе, Мэриленд. Его математические исследования включают в себя использование динамических систем для изучения топологических и геометрических свойств поверхностей. Он изучает, как топологические трансформации пространства влияют на геометрию этого пространства. Также занимается преподаванием и продвижением математического образования студентов в университете. Ричард Элвес — математик и преподаватель. Окончил курсы логики, опубликовал несколько работ на тему моделей теоретической алгебры. Среди его книг Математика и Как Построить Мозг. Он регулярно пишет математические статьи для журнала New Scientist и любит давать интервью и мастер-классы в школах и на публике. В настоящее время работает в качестве аспиранта-преподавателя в Лидском университете, где он проживает вместе со своей женой. Роберт Фатхауэр — разработчик загадок, художник и писатель. Является владельцем компании Tessellations (Мозаики), которая специализируется на разработке товаров, которые сочетали бы в себе математику и искусство. Писал статьи о мозаиках, подобных фигуре Эшера, фрактальных мозаиках и узлах. Также организовал множество групповых выставок математического искусства в США и Европе. Получил степень бакалавра математики и физики в Денверском университете, а также степень доктора философии в области электроинженерии в Корнельском университете. Джон Хай — почетный лектор математики в Суссекском университете. Среди его основных интересов — применение теории вероятности, особенно в биологии и азартных играх. Наряду с преподаванием в университете разработал серию научнопопулярных лекций для Королевского статистического общества и Лондонского математического общества. Дэвид Перри — обладатель множества степеней в математике от Висконсинского ОБ АВТОРАХ

Об авторах g и Иллинойского университетов. На протяжении двух лет преподавал в Рипон Колледж в Висконсине, затем занялся разработкой программного обеспечения в частном секторе. С каждое лето преподает в Центре для одаренных детей Джона Хопкинса; его дисциплины включают в себя теорию чисел, криптологию и продвинутую криптологию. В настоящее время он работает над своим первым романом, исторической фантазией, призванной раскрыть истинную историю о Давиде и Голиафе. Джейми Поммерсхайм — профессор математики в Рид Колледж, Портланд, Орегон. Публиковал исследования на множество различных тем, включая алгебраическую геометрию, теорию чисел, топологию и квантовые вычисления. Преподавал студентам теорию чисел на разных уровнях: математика для колледжа, для математического факультета в университете, для одаренных учащихся старшей школы и продвинутых абитуриентов.

g Алфавитный указатель А Абель, Нильс 80 абстрактная алгебра алгебра 6, 8, 12, 20, 26, 74, 76, 80, 83, алгебраическое выражение 34, 46 алгебраическая геометрия 74, 80 алгебраическая теория чисел , алгебраические числа 12, 16, алгоритмы 83, 84—85, 94, , , аль-Хорезми, Абу Абдуллах Мухаммад ибн Муса 36, 82—83, 84 аналитическая геометрия Архимед Сиракузский 50, 96, – Архимеда закон Аристотель арифметика 6, 8, 40, 42, 83, 88, , арифметики основная теорема 22 Арьябхата 40 Б Байес, Св. Томас 70 Байеса теорема 70–71 Бернулли, Якоб 62 бесконечность 36, , 40, 96, бинарная система счисления (см. двоичная система счисления) божественная пропорция (см. золотое сечение) золотая спираль 24, 98 золотое сечение 12, 24, 98–99 золотой прямоугольник 98 И игр теория 54, 56–57 икосаэдр 93, 98, , , индо-арабские числа 14, 34, 83 интегральное исчисление 50 иррациональные числа 12, 13, 14, 16–17, 96, 98, исчисление 38, 48, 49, 50–51, 96, исчисления основная теорема 50 К Кантор, Георг канторовское множество Кардано, Джероламо 60–61 квадратура круга – Клейна бутылка , , , комплексные числа 12, 18, , , континуум-гипотеза – Кох кривая Кох снежинка , кривая нормального распределения 54 кубические уравнения 61, 80 Л Лейбниц, Готфрид 29, 35, 46, 48–49, 50, 96 линейные уравнения 83, логарифмы 42, 44 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Алфавитный указатель g М Мандельброт, Бенуа 24 Мандельброта множество Мёбиус, Август Мёбиуса лента (петля) –, , Минковский, Герман мнимые числа 12, 13, 18–19 многообразие , множества и группы 86–87 модульное оригами монадология 35, 49 монады 35, 49 Н натуральные числа 38, , натуральный логарифм 44 «Начала» («Начала» Евклида) 22, 92, 94–95, , , Нейман, Джон фон 56 Непер, Джон 44 несжимаемость 68 нормальное распределение 54 Нуль 36–37, 83 Ньютон, Исаак 49, 50, Нэш, Джон 56 О общая теория относительности 78 обыкновенные и десятичные дроби 14–15 октаэдр , , Оресм, Никола 46, оригами геометрия – оригами мозаика ошибочное положительное утверждение 54, 70 П параллельные линии – параллелизме, постулат о Паскаль, Блез 26, 28–29, 49, , Паскаля треугольник 26–27, Пеано кривая переменные величины 76–77 пи 13, 14, 16, 35, 44, 92, 96–97, , , Пизано, Леонардо (см. Фибоначчи) Платон Платоновы тела 9, 92, 94, –, плоскости тригонометрия поля уравнение 78 полярные координаты Пуанкаре, Анри Пуанкаре догадка – Р равновесие 54, 56 раскрытие скобок 26 С Серпинского треугольник синусная функция системы счисления 20–21 сложение и умножение 40—41, 42 специальная теория относительности средних чисел закон 64–65 степени и логарифмы 44–45 столбиком деление 42 сферическая тригонометрия 10 Т Тарталья, Никколо 61 тетраэдр , , Теэтет топология –, , , тор , , , , трансцендентные числа 13, 16, , треугольные числа 26, 31 тригонометрия 83, – Тьюринг, Алан 84, У Уайлс, Эндрю , удвоение ставки 66–67 узлов теория – умножение и деление 42–43 уравнения 78–79, Ф Ферма, Пьер 29, 30, , , — Фибоначчи 24,36, 40 Фибоначчи числа 24–25, 26, 98 фигурные числа 12, 30 фракталы – Фудзимото, Судзо функции 35, 46–47, Х Харди, Г.Х. 30 Ц центральная предельная теорема 54 Ч Черч, Алонзо 84 четырех красок проблема – чисел теория 24, 30–31, 93, 94, Ш шансы 55, 58–59 шестидесятеричная система счисления 20 Шеффер, Джонатан Э Эйлер, Леонард , Эйлера характеристика , эйлеров параллелепипед – Эйнштейн, Альберт 78,

БЛАГОДАРНОСТИ Издательство выражает благодарность следующим людям и организациям за разрешение разместить изображения и иллюстрации в данной книге. Издательство приняло все меры, чтобы огласить список авторов данных иллюстраций; однако, мы приносим свои извинения, если кто-либо из авторов не был упомянут. Кубик Рубика (с) использован по разрешению Seven Towns Ltd. goalma.org Иллюстрации на тему теории углов использованы по разрешению Дэйла Рольфсена, Роба Шарейна и Дрора Бар-Натана.


казино с бесплатным фрибетом Игровой автомат Won Won Rich играть бесплатно ᐈ Игровой Автомат Big Panda Играть Онлайн Бесплатно Amatic™ играть онлайн бесплатно 3 лет Игровой автомат Yamato играть бесплатно рекламе казино vulkan игровые автоматы бесплатно игры онлайн казино на деньги Treasure Island игровой автомат Quickspin казино калигула гта са фото вабанк казино отзывы казино фрэнк синатра slottica казино бездепозитный бонус отзывы мопс казино большое казино монтекарло вкладка с реклама казино вулкан в хроме биткоин казино 999 вулкан россия казино гаминатор игровые автоматы бесплатно лицензионное казино как проверить подлинность CandyLicious игровой автомат Gameplay Interactive Безкоштовний ігровий автомат Just Jewels Deluxe как использовать на 888 poker ставку на казино почему закрывают онлайн казино Игровой автомат Prohibition играть бесплатно